Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)D、C，直線AB與軸交于點(diǎn)，與直線CD交于點(diǎn)．

（1）求直線AB的解析式；

（2）點(diǎn)E是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸，交直線AB于點(diǎn)F，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）設(shè)P是射線CD上一動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的個(gè)數(shù)及其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為或；（3）符合條件的點(diǎn)Q共3個(gè)，坐標(biāo)為（3，1），（-6，4）或

【解析】

（1）先確定出A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）先表示出EF=|a+4-（-2a-2）|=|3a+6|，進(jìn)而建立方程|3a+6|=4，求解即可得出結(jié)論；
（3）分三種情況，利用菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)在上．

∴，解得，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，2），

設(shè)直線AB的解析式為，

∴．

解得，

∴直線AB的解析式為．

（2）由題意，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則

∵軸，點(diǎn)F在直線上，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，

∴，

∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且，∴．

∵直線與軸交于點(diǎn)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），

∴，即，

解得：或，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．

（3）

如圖2，當(dāng)BC為對角線時(shí)，點(diǎn)P，Q都是BC的垂直平分線，且點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于BC對稱，
∵B（0，-2），C（0，4），
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，
將y=1代入y=x+4中，得x+4=1，
∴x=-3，
∴（-3，1），
∴（3，1）
當(dāng)CP是對角線時(shí)，CP是BQ的垂直平分線，設(shè)Q（m，n），
∴BQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入直線y=x+4中，得 ①，
∵CQ=CB，
∴②，
聯(lián)立①②得，

（舍）或，
∴（-6，4），

當(dāng)PB是對角線時(shí)，PC=BA=6，
設(shè)P（c，c+4），
∴，
∴（舍）或，
∴P，
設(shè)Q（d，e）
∴，
∴，
∴Q，

符合條件的點(diǎn)Q共3個(gè)，坐標(biāo)為（3，1），（-6，4）或．