Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一條角平分線．點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形．

（1）求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過點(diǎn)O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一條角平分線，

∴OE=OM，

∵四邊形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∴OF=OM，

∴AO是∠BAC的角平分線，即點(diǎn)O在∠BAC的平分線上

（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，

∴AB= = =13，

設(shè)CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，

∴ ，

解得： ，

∴CE=2，

∴OE=2．

【解析】（1）過點(diǎn)O作OM⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出OE=OM，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OE=OF，從而得出OF=OM，，根據(jù)角平分線的判定定理得出結(jié)論；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，設(shè)CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出方程組，求解即可。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的切線長(zhǎng)定理和角的平分線判定，需要了解從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角；可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)(交于一點(diǎn))才能得出正確答案．