【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,ECD上一動點(diǎn),AEBDF,過FFHAEH,過HGHBDG,下列有四個結(jié)論:①AF=FH,②∠HAE=45°,BD=2FG,④△CEH的周長為定值,其中正確的結(jié)論有( 。

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

【答案】D

【解析】(1)如圖1,連接FC,延長HFAD于點(diǎn)L,

∵在正方形ABCD中,∠ADF=∠CDF=45°,AD=CD,DF=DF,

∴△ADF≌△CDF,

∴FC=AF,∠ECF=∠DAF,

∵∠ALH+∠LAF=90°,

∴∠LHC+∠DAF=90°,

∵∠ECF=∠DAF,

∴∠FHC=∠FCH,

∴FH=FC,

∴FH=AF;


(2)如圖1,∵FH⊥AE,F(xiàn)H=AF,

∴∠HAE=45°;

(3)如圖2,連接ACBD于點(diǎn)O,則由正方形的性質(zhì)可得:BD=2OA,

∵ HF⊥AE,HG⊥BD,

∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH,

∴∠AFO=∠GHF.

∵AF=HF,∠AOF=∠FGH=90°,

∴△AOF≌△FGH.

∴OA=GF.

∵BD=2OA,

∴BD=2FG;


(4)延長AD至點(diǎn)M,使AD=DM,過點(diǎn)CCI∥HL,則:LI=HC,

∴∠IMC=∠ECM=45°,

由已知條件可得:∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC,由此可得∠MEC=∠CIM,

∵M(jìn)C=CM,
∴△MEC≌△CIM,

CE=IM,

同理,可得:AL=HE,

∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

∴△CEH的周長為8,為定值.

故(1)(2)(3)(4)結(jié)論都正確.

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