Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE
（1）求∠ECD的度數(shù)；
（2）若∠ACB為α，則∠ECD的度數(shù)能否用含α的式子來表示．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）設(shè)∠ADC=x，∠BEC=y．由AF垂直平分CD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AC=AD，由等邊對(duì)等角得到∠ADC=∠ACD=x，同理∠BEC=∠BCE=y．在△ACD中，由三角形內(nèi)角和定理得出2x+∠CAD=180°①，同理，2y+∠CBE=180°②，①+②，得2x+2y+∠CAD+∠CBE=360°③，而∠CAD+∠CBE=90°④，④代入③得出x+y=135°，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠ECD=180°-（x+y）=45°；
（2）同（1）求解即可．

解答：解：（1）設(shè)∠ADC=x，∠BEC=y．
∵AF垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD=x，
同理∠BEC=∠BCE=y．
在△ACD中，∵∠ADC+∠ACD+∠CAD=180°，
∴2x+∠CAD=180°①，
同理，2y+∠CBE=180°②，
①+②，得2x+2y+∠CAD+∠CBE=360°③，
∵∠CAD+∠CBE+∠ACB=180°，∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠CBE=90°④，
④代入③，得2x+2y+90°=360°，
∴x+y=135°，
∴∠ECD=180°-（x+y）=45°；

（2）由（1）可得2x+2y+∠CAD+∠CBE=360°，
∵∠CAD+∠CBE=180°-∠ACB=180°-α，
∴2x+2y+180°-α=360°，
∴x+y=90°+

1

2

α，
∴∠ECD=180°-（x+y）=180°-（90°+

1

2

α）=90°-

1

2

α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等，也考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度適中．