Question

如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫半圓，分別交AB、AC于點E、D，DF是圓的切線，過點F作BC的垂線交BC于點G．
（1）求證：DF⊥AB；
（2）若AF的長為2，求FG的長．

Answer 1

考點：切線的性質,等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：（1）連結OD，根據(jù)切線的性質由DF是圓的切線得∠ODF=90°，再根據(jù)等邊三角形的性質得∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，而OD=OC，所以∠ODC=60°=∠A，
于是可判斷OD∥AB，根據(jù)平行線的性質得DF⊥AB；
（2）在Rt△ADF中，由∠A=60°得到∠ADF=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得AD=2AF=4，再證明OD為△ABC的中位線，則AD=CD=4，即AC=8，
所以AB=8，BF=AB-AF=6，然后在Rt△BFG中，根據(jù)正弦的定義計算FG的長．

解答：（1）證明：連結OD，如圖，
∵DF是圓的切線，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC，
而OD=OC，
∴∠ODC=60°，
∴∠ODC=∠A，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB；
（2）解：在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF=2×2=4，
而OD∥AB，點O為BC的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴AD=CD=4，即AC=8，
∴AB=8，
∴BF=AB-AF=6，
∵FG⊥BC，
∴∠BGF=90°，
在Rt△BFG中，sinB=sin60°=

FG

FB

，
∴FG=6×

3

2

=3

3

．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了等邊三角形的性質．