Question

如圖，直線PR⊥⊙O的半徑OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直線PR于R．
（1）如圖1，點E在半徑OB上，求證：PR=PQ．
（2）如圖2，若O與E重合，PR交⊙O于點C，A兩點，當(dāng)sin

1

2

∠P=

17

17

時，求tan∠C的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OQ，根據(jù)切線的性質(zhì)證出∠PRQ=∠PQR，得到PQ=PR；
（2）連接AB，過O作RH⊥AB于點H，作PG⊥RQ于點G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．

解答：（1）證明：連接OQ，如圖3，
∵OB，OQ是⊙O的半徑．
∴∠B=∠OQB，
又∵PQ為⊙O的切線，
∴∠PQB+∠OQB=90°，
又∵PE⊥OB．
∴∠B+∠ERB=∠OQB+∠PRQ，
=∠OQB+∠PQR=90°．
∴∠PRQ=∠PQR，
∴PQ=PR．                 
（2）連接AB，過O作RH⊥AB于點H，作PG⊥RQ于點G，如圖4．
由（1）可知PQ=PR，PQ為⊙O的切線，
∴∠RPG=

1

2

∠QPR=∠OBR．
由sin

1

2

∠P=

17

17

=sin∠OBR，可以設(shè)OR=t，
則  BR=

17

t，OB=4t，RA=3t．
而∠BAC=

1

2

∠BOC=45°．
∴AB=4

2

t．
∴RH=

3

2

2

t=AH．BH=

5

2

2

t，
∴tan∠C=tan∠QBA=

RH

BH

=

3 2 2 t

5 2 2 t

=

3

5

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形，難度較大，需要做出相應(yīng)的輔助線，并熟悉相關(guān)定義．