Question

若1×2×3×…×99×100=12ⁿM，其中M為自然數(shù)，n為使得等式成立的最大的自然數(shù)，則M（　�。�

A、能被2整除，但不能被3整除

B、能被3整除，但不能被2整除

C、能被4整除，但不能被3整除

D、不能被3整除，也不能被2整除

Answer 1

分析：由于100！中含有3的48次方，和2的97次方，也就是4的48次方，由此即可確定1×2×3…×99×100 的結(jié)果包含因數(shù)12的最大次數(shù)是48，而且M中不含有質(zhì)因數(shù)3，接著就可以確定選擇項．

解答：解：1至100 中，
3的1次方的倍數(shù)共有100÷3，整商=33個
3的2次方的倍數(shù)共有100÷（3×3），整商=11個
3的3次方的倍數(shù)共有100÷（3×3×3），整商=3個
3的4次方的倍數(shù)共有100÷（3×3×3×3），整商=1個
所以 1×2×3…×99×100 的結(jié)果包含質(zhì)因數(shù)3的次數(shù)是
33+11+3+1=48，
2的1次方的倍數(shù)共有100÷2，整商=50個
2的2次方的倍數(shù)共有100÷（2×2），整商=25 個
2的3次方的倍數(shù)共有100÷（2×2×2），整商=12 個
2的4次方的倍數(shù)共有100÷（2×2×2×2），整商=6 個
2的5次方的倍數(shù)共有100÷（2×2×2×2×2），整商=3 個
2的6次方的倍數(shù)共有100÷（2×2×2×2×2×2），整商=1 個
所以1×2×3…×99×100 的結(jié)果包含質(zhì)因數(shù)2的次數(shù)是
50+25+12+6+3+1=97，
2⁹⁷=4⁴⁸×2，
3⁴⁸×4⁴⁸=12⁴⁸，
∴1×2×3…×99×100 的結(jié)果包含因數(shù)12的最大次數(shù)是48，
∴M能被2整除，但不能被3整除．
故選A．

點評：此題主要考查了整數(shù)的整除性問題，解題時首先找出1×2×3×…×99×100中包含質(zhì)因數(shù)2和3的最大指數(shù)，然后利用3×4=12即可解決問題．