Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，點E為CD邊的中點，BE⊥CD，且∠FBE=2∠EBC．在線段AD上取一點F，在線段BE上取一點G，使得BF=BG，連接CG．
（1）若AB=AF，EG=，求線段CG的長；
（2）求證：∠EBC+∠ECG=30°．

Answer 1

解：（1）連接BD，
∵點E為CD邊的中點，BE⊥CD
∴BD=BC
∴∠DBE=∠CBE
∵∠FBE=2∠EBC，
∴∠DBE=∠CBE=∠DBF
∵BF=BG，
∴△FBD≌△GBC，
∴∠DFB=∠CGB
∵∠DFB+∠AFB=∠CGB+∠CGE=180°
∴∠AFB=∠CGE
∵AB=AF，∠A=90°，
∴∠AFB=∠CGE=45°
∴EG=CE=，
∴在Rt△EGC中，
∴GC==2；

（2）由（1）可知：
△FBD≌△GBC
∴∠FDB=∠DBC=2∠EBC，
∵∠GBC+∠GCB=∠EGC，
∴∠EGC=∠GBC+2∠EBC=3∠EBC，
∵∠EGC+∠ECG=90°，
∴3∠EBC+∠ECG=90°，
∴∠EBC+∠ECG=30°．
分析：（1）先連接BD，根據點E為CD邊的中點，BE⊥CD，得出BD=BC，再利用SAS證出△FBD≌△GBC，得出∠DFB=∠CGB，所以∠AFB=∠ECG，再根據AB=AF，∠A=90°，得出∠AFB=∠CGE=45°所以EG=CG=，最后利用勾股定理即可求出GC，
（2）根據（1）的證出可得∠FDB=∠DBC=2∠EBC，再根據∠GBC+∠GCB=∠EGC，得出∠EGC=3∠GBC，最后再根據∠EGC+∠ECB=90°，即可證出∠EBC+∠ECG=30°；
點評：此題考查了梯形，用到的知識點是全等三角形的判定和性質、勾股定理、線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是證出△FBD≌△GBC，得出對應角相等．