Question

【題目】如圖，P，Q，R，S四個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D同時(shí)出發(fā)，以同樣的速度分別沿AB，BC，CD，DA的方向滾動(dòng)，其終點(diǎn)分別是B，C，D，A.

(1)不管滾動(dòng)多長時(shí)間，求證：連接四個(gè)小球所得的四邊形PQRS總是正方形．

(2)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積最大？

(3)四邊形PQRS在什么時(shí)候面積為原正方形面積的一半？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)P，Q，R，S在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大；（3）當(dāng)P，Q，R，S四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形ABCD各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積為原正方形面積的一半.

【解析】試題分析： 根據(jù)已知可確定 進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)，可判定 之間是否全等，從而可初步判斷四邊形 的形狀，判斷出四邊形為菱形后，只需證明其中有一個(gè)角等于 ，便可證明四邊形為正方形.

當(dāng) 在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積就等于原正方形的面積．

當(dāng)四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積是原正方形 面積的一半．

試題解析：∵四邊形 是正方形，

.

又∵不管滾動(dòng)多長時(shí)間，

∴不管滾動(dòng)多長時(shí)間，四邊形是菱形．又

∴不管滾動(dòng)多長時(shí)間，四邊形總是正方形．

當(dāng) 在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積就等于原正方形的面積．

當(dāng)四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積是原正方形面積的一半．

理由：設(shè)原正方形 的邊長為

當(dāng)時(shí)，在 中，

由勾股定理，得

即

解得 同理可得

∴當(dāng)四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積為原正方形面積的一半．