Question

如圖，△ABC中AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于D點(diǎn)，直線DP⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求證：直線DP是⊙O的切線；
（2）若∠ABC=120°，AB=4cm，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由直徑得BD⊥AC，再由AB=BC，得D為AC的中點(diǎn)，從而得出OD∥BC，即可證明直線DP是⊙O的切線；
（2）可求得∠A，在Rt△ABD中，用三角函數(shù)可得出AD，即可得出AC．

解答：（1）證明：連接BD
∵AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，
∵AB=BC，∴D為AC的中點(diǎn)，
∵O為AB的中點(diǎn)，∴OD∥BC，
∵DP⊥BC，∴OD⊥DP，
∴直線DP是⊙O的切線；

（2）解：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，AB=4cm，
∴∠A=30°，
在Rt△ABD中，AD=4×

3

2

=2

3

，
∴AC=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．