Question

已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接CD，且CD=OA．
（1）當(dāng)OC=2

2

時(shí)（如圖），求證：CD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)OC＞2

2

時(shí)，CD所在直線與⊙O相交，設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE．，當(dāng)D為CE中點(diǎn)時(shí)，求△ACE的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而得出△ODC是直角三角形，求出CD是切線即可；
（2）利用等邊三角形的判定以及勾股定理分別求出AE，CO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：連接DO，
∵AB是⊙O的直徑，AB=4，CD=OA，
∴CD=OD=2，
∴DO²+CD²=CO²，
∴△ODC是直角三角形，
∴∠ODC=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，連接EO，DO，
∵D為CE中點(diǎn)，CD=OA，
∴EO=DO=CD=DE，
∴△EOD是等邊三角形，
∵DO=ED=CD，
∴△EOC是直角三角形，
∴∠AOE=∠EOC=90°，
∴AE=

22+22

=2

2

，OC=

EC2-EO2

=2

3

，
∴△ACE的周長(zhǎng)為：AE+EC+AC=2

2

+4+2

3

+2=6+2

2

+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及切線的判定等知識(shí)，得出∠EOC=90°是解題關(guān)鍵．