Question

如圖，將一塊腰長為

5

的等腰直角三角板ABC放在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，直角頂點C的坐標為（-2，0），點B在第二象限．
（1）求點A，點B的坐標．
（2）將△ABC沿x軸正方向平移后得到△A′B′C′，點A′，B′恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求平移的距離和反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過B點作BH⊥x軸于H，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得到OA=1，則A點坐標為（0，1）；在根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CB=CA，∠ACB=90°，則可利用等角的余角相等得∠ACO=∠HBC，于是可根據(jù)“AAS”判斷△BCH≌△CAO，所以CH=OA=1，BH=OC=2，OH=HC+OC=3，由此得到B點為（-3，2）；
（2）設將△ABC沿x軸正方向平移a個單位后得到△A′B′C′，根據(jù)平移的性質(zhì)得B′的坐標為（-3+a，2），C′點的坐標為（a，1），由于點A′，B′恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，則根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到k=2×（-3+a）=1×a，解得a=6，所以k=6，于是得到反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

．

解答：解：（1）過B點作BH⊥x軸于H，如圖，
∵C的坐標為（-2，0），
∴OC=2，
在Rt△AOC中，AC=

5

，
∴OA=

AC2-OC2

=1，
∴A點坐標為（0，1）；
∵△ACB為等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACB=90°，
∴∠BCH+∠ACO=90°，
而∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠ACO=∠HBC，
在△BCH和△CAO中，

∠BHC=∠COA ∠HCB=∠OCA BC=CA

，
∴△BCH≌△CAO（AAS），
∴CH=OA=1，BH=OC=2，
∴OH=HC+OC=3，
∴B點為（-3，2）；
（2）設將△ABC沿x軸正方向平移a個單位后得到△A′B′C′，則B′的坐標為（-3+a，2），C′點的坐標為（a，1），
∵點A′，B′恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴2×（-3+a）=1×a，解得a=6，
∴k=1×6=6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)；會運用全等三角形的判定與性質(zhì)解決線段相等的問題，利用勾股定理計算線段的長．