Question

如圖，已知拋物線y=x²-（b+1）x+（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______（用含b的代數(shù)式表示）；
（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；
（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，即y=x²-（b+1）x+=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標(biāo)，令x=0，求出y的值即C的縱坐標(biāo)；
（2）存在，先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接OP，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，利用已知條件證明△PEC≌△PDB，進(jìn)而求出x和y的值，從而求出P的坐標(biāo)；
（3）存在，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸；
要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）令y=0，即y=x²-（b+1）x+=0，
解得：x=1或b，
∵b是實(shí)數(shù)且b＞2，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0），
令x=0，
解得：y=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），
故答案為：（b，0），（0，）；

（2）存在，
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接OP．
則S_{四邊形PCOB}=S_△PCO+S_△POB=••x+•b•y=2b，
∴x+4y=16．
過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四邊形PEOD是矩形．
∴∠EPD=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．
由解得
由△PEC≌△PDB得EC=DB，即-=b-，
解得b=＞2符合題意．
∴P的坐標(biāo)為（，）；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此時(shí)∠OQB=90°，
由QA⊥x軸知QA∥y軸．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）當(dāng)∠OCQ=90°時(shí)，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=．
由AQ²=OA•AB得：（）²=b-1．
解得：b=8±4．
∵b＞2，
∴b=8+4．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，2+）．
（II）當(dāng)∠OQC=90°時(shí)，△OCQ∽△QOA，
∴=，即OQ²=OC•AQ．
又OQ²=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．
解得：AQ=4，此時(shí)b=17＞2符合題意，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，4）．
∴綜上可知，存在點(diǎn)Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似．
點(diǎn)評：此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，還考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，同時(shí)還讓學(xué)生探究存在性問題，對待問題要思考全面，學(xué)會分類討論的思想．