Question

已知直線l₁：y=3x+1與y軸交于點A，與x交于點C，直線l₂：y=mx+n交于點P（-2，a），l₁過第一、二、三象限； l₂過第一、三、四象限，
（1）求3x+1＞mx的解集；
（2）當(dāng)x=3時，直線l₂表示的一次函數(shù)值恰好等于零，求直線l₂的函數(shù)解析式；
（3）若直線l₁上有一點D，使S_△BCD=S_△BCP，求點D的坐標；
（4）在x軸上找一點E，使△ABE是等腰三角形，求出點E的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圖示直接回答問題；
（2）把點P的坐標代入直線l₁后求得a的值；然后把點P和（3，0）分別代入直線l₂，聯(lián)立方程組來求m、n的值；
（3）根據(jù)等式可以判定點D到x軸的距離等于點P到x軸的距離；
（4）需要分類討論：AB=AE、AE=BE、AB=BE．

解答：解：（1）如圖，∵直線l₁與直線l₂交于點P（-2，a），
∴3x+1＞mx的解集是x＞-2；

（2）∵點P（-2，a）在直線y=3x+1上，
∴a=3×（-2）+1=-5，則P（-2，-5）．
又∵當(dāng)x=3時，直線l₂表示的一次函數(shù)值恰好等于零，點P在直線直線y=mx+n上，
∴

3m+n=0 -2m+n=-5

，
解得

m=1 n=-3

，
故直線l₂的函數(shù)解析式是y=3x-3；

（3）∵S_△BCD=S_△BCP，且點D在直線l₁上，P（-2，-5）．
∴點D到x軸的距離與點P到x軸的距離相等，
∴設(shè)D（t，5），
則5=3t+1，
解得 t=

4

3

．
故點D的坐標是（

4

3

，5）；

（4）由直線y=3x+1和直線y=3x-3易求得：A（0，1），B（1，0）．
則AB=

2

．
當(dāng)△ABE是等腰三角形時，需要分三種情況進行討論：
①當(dāng)AB=AE時，點A在BE的垂直平分線上，則點B與點E關(guān)于y軸對稱，故點E₁的坐標為（-1，0）；
②當(dāng)AB=BE時，故E₂（1+

2

，0），E₃=（

2

-1，0）；
③當(dāng)AE=BE時，點E與原點O重合，則E₄（0，0）．
綜上所述，符合條件的點E的坐標有4個：（-1，0）、（1+

2

，0）、（

2

-1，0）或（0，0）．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)交點問題以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．解答（4）題時，一定要分類討論，以防漏解．