Question

如圖(a)、(b)、(c)，⊙O₁與⊙O₂交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O₁在⊙O₂上，C為⊙O₁中優(yōu)弧上任意一點(diǎn)，直線CB交⊙O₂于D，連結(jié)O₁D．

(1)用兩種不同的方法證明：DO₁⊥AC；

(2)若點(diǎn)C在劣弧上，(1)中的結(jié)論是否仍成立？請?jiān)趫D(c)中畫出圖形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：[證法一] 　　如圖(a)，連結(jié)AB，連結(jié)AO1并延長交⊙O1于E，連結(jié)CE．則 　　∠1＝∠2，∠1＝∠3， 　　∴∠2＝∠3，∴CE∥O1D． 　　∵AE是⊙O1的直徑，∴CE⊥AC． 　　∴DO1⊥AC． 　　[證法二] 　　如圖(b)，連結(jié)AO1、AB、O1O2、BO1，則AB⊥O1O2． 　　∵∠O1AB＝∠D， 　　∠AO1O2＝∠AO1B＝∠C， 　　∴∠C＋∠D＝∠AO1O2＋∠O1AB 　�。�． 　　∴O1D⊥AC． 　　(2)如圖(c)，當(dāng)C點(diǎn)在劣弧上時(shí)，(1)中的結(jié)論仍成立，即DO1⊥AC． 　　證明：連結(jié)AB，連結(jié)AO1并延長交⊙O1于F，連結(jié)FB．連結(jié)AC交DO1于E． 　　∵四邊形AFBC內(nèi)接于⊙O1， 　　∴∠F＝∠ACD． 　　∵AF是⊙O1的直徑， 　　∴∠ABF＝． 　　∴∠FAB＋∠F＝． 　　又∵∠FAB＝∠D， 　　∴∠D＋∠ACD＝． 　　∴∠DEC＝． 　　∴DO1⊥AC．

提示：

(1)連結(jié)相交兩圓的公共弦AB，當(dāng)一個(gè)圓過另一個(gè)圓的圓心時(shí)，要研究以O(shè)1為角頂點(diǎn)的圓心角和圓周角；(2)一般來講，圖形變化證明方法不發(fā)生變化．