【題目】在四邊形 ABCD 中,E 為 BC 邊中點(diǎn).
(Ⅰ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,∠AED=90°,點(diǎn) F 為 AD 上一點(diǎn),AF=AB.求證:(1)△ABE≌AFE;(2)AD=AB+CD
(Ⅱ)已知:如圖,若 AE 平分∠BAD,DE 平分∠ADC,∠AED=120°,點(diǎn) F,G 均為 AD上的點(diǎn),AF=AB,GD=CD.求證:(1)△GEF 為等邊三角形;(2)AD=AB+ BC+CD.
【答案】(Ⅰ)(1)證明見解析;(2)證明見解析;(Ⅱ)(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)(1)運(yùn)用SAS證明△ABE≌AFE即可;
(2)由(1)得出∠AEB=∠AEF,BE=EF,再證明△DEF≌△DEC(SAS),得出DF=DC,即可得出結(jié)論;
(Ⅱ)(1)同(Ⅰ)(1)得△ABE≌△AFE(SAS),△DGE≌△DCE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出BE=FE,∠AEB=∠AEF,CE=GE,∠CED=∠GED,進(jìn)而證明△EFG是等邊三角形;
(2)由△EFG是等邊三角形得出GF=EE=BE=BC,即可得出結(jié)論.
(Ⅰ)(1)∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠FAE,
在△ABE和△AFE中,
,
∴△ABE≌△AFE(SAS),
(2)∵△ABE≌△AFE,
∴∠AEB=∠AEF,BE=EF,
∵E為BC的中點(diǎn),
∴BE=CE,
∴FE=CE,
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠DEF=∠DEC,
在△DEF和△DEC中,
,
∴△DEF≌△DEC(SAS),
∴DF=DC,
∵AD=AF+DF,
∴AD=AB+CD;
(Ⅱ)(1)∵E為BC的中點(diǎn),
∴BE=CE=BC,
同(Ⅰ)(1)得:△ABE≌△AFE(SAS),
△DEG≌△DEC(SAS),
∴BE=FE,∠AEB=∠AEF,CE=GE,∠CED=∠GED,
∵BE=CE,
∴FE=GE,
∵∠AED=120°,∠AEB+∠CED=180°-120°=60°,
∴∠AEF+∠GED=60°,
∴∠GEF=60°,
∴△EFG是等邊三角形,
(2)∵△EFG是等邊三角形,
∴GF=EF=BE=BC,
∵AD=AF+FG+GD,
∴AD=AB+CD+BC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】汽車由天津駛往相距120千米的北京,(千米)表示汽車離開天津的距離,(小時(shí))表示汽車行駛的時(shí)間.如圖所示:
(1)汽車用幾小時(shí)可到達(dá)北京?速度是多少?
(2)汽車行駛1小時(shí),離開天津有多遠(yuǎn)?
(3)當(dāng)汽車距北京20千米時(shí),汽車出發(fā)了多長時(shí)間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)關(guān)于是否成反比例的命題,判斷它們的真假.
(1)面積一定的等腰三角形的底邊長和底邊上的高成反比例;
(2)面積一定的菱形的兩條對角線長成反比例;
(3)面積一定的矩形的兩條對角線長成反比例;
(4)面積一定的直角三角形的兩直角邊長成比例.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC+∠EAD=180°,△ABC不動(dòng),△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),連接BE,CD,F(xiàn)為BE的中點(diǎn),連接AF.
(1)如圖①,當(dāng)∠BAE=90°時(shí),求證:CD=2AF;
(2)當(dāng)∠BAE≠90°時(shí),(1)的結(jié)論是否成立?請結(jié)合圖②說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE.過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P.若AE=AP=1,PB=,下列結(jié)論:① △APD≌△AEB;② EB⊥ED;③ 點(diǎn)B到直線AE的距離為; ④,其中正確結(jié)論的序號是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分別為E,F(xiàn),且BE=DF.
(1)求證:ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AB=4,點(diǎn)F,C是⊙O上兩點(diǎn),連接AC,AF,OC,弦AC平分∠FAB,∠BOC=60°,過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF的延長線于點(diǎn)D,垂足為點(diǎn)D.
(1)求扇形OBC的面積(結(jié)果保留π);
(2)求證:CD是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,,,AB=4,點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合),過點(diǎn)作,交邊于點(diǎn).
(1)求的大。
(2)若把沿著直線翻折得到,設(shè)
① 如圖2,當(dāng)點(diǎn)落在斜邊上時(shí),求的值;
② 如圖3,當(dāng)點(diǎn)落在外部時(shí),與相交于點(diǎn),如果,寫出與的函數(shù)關(guān)系式以及定義域.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)(與B,C兩點(diǎn)不重合),過點(diǎn)D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F(xiàn)兩點(diǎn),下列說法正確的是( 。
A. 若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形
B. 若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形
C. 若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形
D. 若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形
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