Question

在矩形ABCD中，點E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點，連接BF、FG、GB．設(shè)．

（1）證明：△BGF是等腰三角形；

（2）當(dāng)k為何值時，△BGF是等邊三角形？

（3）我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．事實上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大；反之也成立．

利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵EF⊥AC于點F，∴∠AFE=90°。

∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點，∴。

在Rt△ABE中，同理可得.

∴GF=GB�！唷鰾GF為等腰三角形。

（2）當(dāng)△BGF為等邊三角形時，∠BGF=60°，

∵GF=GB=AG，∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE�！唷螧GF=2∠BAC。

∴∠BAC=30°。∴∠ACB=60°。

∴。

∴當(dāng)k=時，△BGF為等邊三角形。

（3）由（1）得△BGF為等腰三角形，由（2）得∠BAC=∠BGF，

∴當(dāng)△BGF為銳角三角形時，∠BGF＜90°。

∴∠BAC＜45°�！郃B＞BC。∴k=＞1。

當(dāng)△BGF為直角三角形時，∠BGF=90°，∴∠BAC=45°。

∴AB=BC�！鄈==1。

當(dāng)△BGF為鈍角三角形時，∠BGF＞90°，∴∠BAC＞45°。

∴AB＜BC�！鄈=＜1�！�0＜k＜1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得出BG=FG，從而得出結(jié)論。

（2）當(dāng)△BGF為等邊三角形時，由等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠BAC=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)值就可以求出k的值。

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論課得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=∠BGF，根據(jù)∠BGF的大小分三種情況討論就可以求出結(jié)論。