【題目】模型建立:如圖1,等腰直角三角形中,,,直線經(jīng)過點,過,過

1)求證:;

2)模型應(yīng)用:

①已知直線l1y軸交于點,將直線l1繞著點順時針旋轉(zhuǎn)45°l2,如圖2,求l2的函數(shù)解析式;

②如圖3,長方形ABCO,為坐標(biāo)原點,的坐標(biāo)為(86),分別在坐標(biāo)軸上,是線段上動點,點是直線上的一點,若APD以點D為直角頂點的等腰Rt,請直接寫出點的坐標(biāo).

【答案】1)見解析;(2)①;②(-68)或(-2,0).

【解析】

1)先根據(jù)△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA,再由AAS定理可得△ACD≌△CBE,由全等三角形的性質(zhì)可得;
2)①如圖2中,設(shè)直線l1x軸于B,作BPACP,作PEOBE,PFy軸于F.首先證明四邊形PEOF是正方形,求出點P的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可解決問題.
②當(dāng)點D為直角頂點,分點D在直線PA的上方或下方兩種情況,如圖3所示,當(dāng)點D′在直線PA上方時,∠A D′P=90°時,A D′=P D′,設(shè)D′x,-2x-4),利用三角形全等得到-2x-10=x+8,x=-6,OF=-2x-4 =8,即可得出結(jié)論;同理,再求出點D在直線PA下方時點的坐標(biāo).

1)證明:如圖1中,

∵△ABC為等腰直角三角形,
BC=CA,∠ACD+BCE=90°,
又∵ADEDBEED,
∴∠D=E=90°,∠EBC+BCE=90°,
∴∠ACD=EBC,
在△ACD與△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBEAAS);
;
2)①如圖2中,設(shè)直線l1x軸于B,作BPACP,作PEOBE,PFy軸于F

由(1)可知△PBE≌△PAF,
BE=AF,PE=PF,設(shè)PE=PF=a,
∵∠PEO=EOF=PFO=90°,
∴四邊形PEOF是矩形,
PE=PF,
∴四邊形PEOF是正方形,
OE=OF=a,
=0時,x=-28,;x=0時,y=-4,

B-28,0),A0,-4),
a+4+a=28,
a=12
P-12,12),設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b則有

解得,
∴直線l2的解析式為;
②如圖3中,

當(dāng)點D位于直線上,點D為直角頂點時,分兩種情況,
當(dāng)點D′在直線PA上方時,過D′x軸的平行線EF,交直線OAF,交直線BCE,設(shè)D′x,-2x-4);
OF=-2x-4,AF=-2x-4-6=-2x-10,D′E=EF-D′F=x+8;
由(1)可知△AD′F≌△D′PE,得D′E=AF,即:
-2x-10=x+8,x=-6OF=-2x-4 =8,
D′-6,8);
當(dāng)點D在直線PA下方時,同理可得D-2,0),

綜上所述,滿足條件的點D的坐標(biāo)為(-6,8)或(-2,0).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖:一把直尺壓住射線OB,另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P,小明說:射線OP就是∠BOA的角平分線.他這樣做的依據(jù)是( )

A.角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等

B.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上

C.三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等

D.以上均不正確

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】RtABC中,∠C=90°a,b,c分別是∠A、∠B、∠C的對邊

1)若a=,c=4,求b

2)若c=8,∠A=30°,求b

3)若a:b=3:4,c=15,求RtABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,O為菱形ABCD對角線的交點,M是射線CA上的一個動點(點M與點CO、A都不重合),過點AC分別向直線BM作垂線段,垂足分別為E、F,連接OE,OF

1)①依據(jù)題意補全圖形;

②猜想OEOF的數(shù)量關(guān)系為_________________.

2)小東通過觀察、實驗發(fā)現(xiàn)點M在射線CA上運動時,(1)中的猜想始終成立.

小東把這個發(fā)現(xiàn)與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明(1)中猜想的幾種想法:

想法1:由已知條件和菱形對角線互相平分,可以構(gòu)造與OAE全等的三角形,從而得到相等的線段,再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì),即可證明猜想;

想法2:由已知條件和菱形對角線互相垂直,能找到兩組共斜邊的直角三角形,例如其中的一組OABEAB,再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì),菱形四邊相等,可以構(gòu)造一對以OEOF為對應(yīng)邊的全等三角形,即可證明猜想.

……

請你參考上面的想法,幫助小東證明(1)中的猜想(一種方法即可).

3)當(dāng)∠ADC=120°時,請直接寫出線段CF,AEEF之間的數(shù)量關(guān)系是_________________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我市準備在相距千米的,兩工廠間修一條筆直的公路,但在地北偏東方向、地北偏西方向的處,有一個半徑為千米的住宅小區(qū)(如圖),問修筑公路時,這個小區(qū)是否有居民需要搬遷?(參考數(shù)據(jù):

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形,點F的坐標(biāo)為(1,1),點C的坐標(biāo)為(4,2),則這兩個正方形位似中心的坐標(biāo)是______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】探究:如圖,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直線 m 經(jīng)過點 A,BD⊥m 于點 D,CE⊥m 于點 E,求證:△ABD≌△CAE.

應(yīng)用:如圖,在△ABC 中,AB=AC,D、A、E 三點都在直線 m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,求證:DE=BD+CE.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】數(shù)學(xué)研究課上,老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問題》時,出示如圖1所示的長方形紙條,其中,.然后在紙條上任意畫一條截線段,將紙片沿折疊,交于點,得到.如圖2所示:

探究:

1)若,______°;

2)改變折痕位置,始終是______三角形,請說明理由;

應(yīng)用:

3)愛動腦筋的小明在研究的面積時,發(fā)現(xiàn)邊上的高始終是個不變的值.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),他很快研究出的面積最小值為,此時的大小可以為______°;

4)小明繼續(xù)動手操作,發(fā)現(xiàn)了面積的最大值.請你求出這個最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,連接BC,AC,過點C作直線CDAB于點D,點EAB上一點,直線CE交⊙O于點F,連接BF與直線CD延長線交于點G.求證:BC2BG·BF.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案