【題目】數(shù)學(xué)研究課上,老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問(wèn)題》時(shí),出示如圖1所示的長(zhǎng)方形紙條,其中,.然后在紙條上任意畫(huà)一條截線(xiàn)段,將紙片沿折疊,交于點(diǎn),得到.如圖2所示:

探究:

1)若,______°;

2)改變折痕位置,始終是______三角形,請(qǐng)說(shuō)明理由;

應(yīng)用:

3)愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在研究的面積時(shí),發(fā)現(xiàn)邊上的高始終是個(gè)不變的值.根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),他很快研究出的面積最小值為,此時(shí)的大小可以為______°;

4)小明繼續(xù)動(dòng)手操作,發(fā)現(xiàn)了面積的最大值.請(qǐng)你求出這個(gè)最大值.

【答案】1;(2)等腰,證明詳見(jiàn)解析;(3;(4面積的最大值為

【解析】

1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出∠KNM,∠KMN的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解;

2)利用翻折變換的性質(zhì)以及兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得出KM=KN;

3)分兩種情況討論:①如圖2,利用當(dāng)△KMN的面積最小值為時(shí),KN=BC=1,故KNB'M,得出∠1=NMB=45°;②如圖22),當(dāng)△KMN的面積最小值為時(shí),KN=KM=BC=1,故KMB'M.由折疊的性質(zhì)和周角的定義即可得出結(jié)論;

4)分情況一:將矩形紙片對(duì)折,使點(diǎn)BD重合,此時(shí)點(diǎn)K也與D重合;情況二:將矩形紙片沿對(duì)角線(xiàn)AC對(duì)折,此時(shí)折痕即為AC兩種情況討論求解.

1)如圖1

∵四邊形ABCD是矩形,∴AMDN,∴∠KNM=1

∵∠1=70°,∴∠KNM=KMN=1=70°,∴∠MKN=40°.

故答案為:40;

2)等腰.理由如下:

ABCD,∴∠1=MND

∵將紙片沿MN折疊,∴∠1=KMN,∴∠MND=KMN,∴KM=KN

故答案為:等腰;

3)分兩種情況討論:①如圖2,當(dāng)△KMN的面積最小值為時(shí),KN=BC=1,故KNB'M

∵∠NMB=KMN,∠KMB=90°,∴∠1=NMB=45°.

②如圖22),當(dāng)△KMN的面積最小值為時(shí),KN=KM=BC=1,故KMB'M

∵∠NMB=NMB',∠BMB'=90°,∴∠1=NMB=360°-90°)÷2=135°.

故答案為:45°或135°;

4)分兩種情況:

情況一:如圖3,將矩形紙片對(duì)折,使點(diǎn)BD重合,此時(shí)點(diǎn)K也與D重合.

MK=MB=x,則AM=5x

由勾股定理得:12+5x2=x2

解得:x=2.6,∴MD=ND=2.6

SMNK=SMND1×2.6=1.3

情況二:如圖4,將矩形紙片沿對(duì)角線(xiàn)AC對(duì)折,此時(shí)折痕即為AC

MK=AK=CK=x,則DK=5x

同理可得:MK=NK=2.6

MD=1,∴SMNK1×2.6=1.3

MNK的面積最大值為1.3

練習(xí)冊(cè)系列答案
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,求的度數(shù).

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1)求證:;

2)模型應(yīng)用:

①已知直線(xiàn)l1y軸交于點(diǎn),將直線(xiàn)l1繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°l2,如圖2,求l2的函數(shù)解析式;

②如圖3,長(zhǎng)方形ABCO為坐標(biāo)原點(diǎn),的坐標(biāo)為(86),、分別在坐標(biāo)軸上,是線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)是直線(xiàn)上的一點(diǎn),若APD以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰Rt,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

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,求的值;

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