Question

 已知：如圖，是⊙O的直徑，點是上任意一點，過點作弦點是上任一點，連結交于連結AC、CF、BD、OD．

1. （1）求證：；

2.（2）猜想：與的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

3. （3）試探究：當點位于何處時，△的面積與△的面積之比為1:2？并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）證明：∵ 弦CD⊥直徑AB于點E， ∴ ． 

    ∴ ∠ACD =∠AFC．

        又 ∵ ∠CAH=∠FAC，

       ∴ △ACH∽△AFC（兩角對應相等的兩個三角形相似）．--------------1分

2.（2）猜想：AH·AF=AE·AB．

證明：連結FB．

        ∵ AB為直徑，∴ ∠AFB=90°．

        又∵ AB⊥CD于點E，∴ ∠AEH=90°．

 ∴． ∵ ∠EAH=∠FAB，

       ∴ △AHE∽△ABF．

       ∴ ．

       ∴ AH·AF=AE·AB．------------------------------------------------- -----3分

3.（3）答：當點位于的中點（或）時，△的面積與△的面積之比為1:2 ．

證明：設 △的面積為,△的面積為．

∵ 弦CD⊥直徑AB于點E， ∴ =，=．

∵位于的中點，∴．

    又是⊙O的直徑，∴ ．

∴．

又 由垂徑定理知 CE=ED，∴ ．

    ∴ 當點位于的中點時，△的面積與△的面

積之比為1:2 ．  -------------------------------------------------7分

【解析】略