Question

【題目】如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作優(yōu)弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).點(diǎn)在優(yōu)弧上從點(diǎn)開始移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，連接.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷與優(yōu)弧的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)在優(yōu)弧上移動(dòng)的路線長(zhǎng)及線段的長(zhǎng).

（3）連接，設(shè)的面積為，直接寫出的取值范圍.

備用圖

Answer 1

【答案】（1）AM與優(yōu)弧的相切（2）或（3）

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理的得到∠AMO=90°即可得到與優(yōu)弧的相切；

（2）根據(jù)題意分 在直線的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，用三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；（3）根據(jù)題意作過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)此時(shí)的面積最大，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的面積最小，分別求出最大值與最小值即可求解.

在中，，， .

（1）與優(yōu)弧的相切；

如圖1，當(dāng)時(shí)，，且

為直角三角形，，

點(diǎn)在上，與優(yōu)弧的相切．

（2）當(dāng)時(shí)，第一種情況：如圖 2所示， 在直線的左側(cè)；

過點(diǎn)作于點(diǎn)

在中，

，，

在中，據(jù)勾股定理可知.

第二種情況：如圖 3所示，在直線的右側(cè)；連接

，

在中，據(jù)勾股定理得：

由可知.

（3）如圖4，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)此時(shí)的面積最大

在中，，

在中

如圖5，過點(diǎn)作于點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)的面積最小

在中

.