Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6Cm，點(diǎn)P從A開始沿AB邊向B以每秒3cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

(1)求證:當(dāng)時(shí),四邊形APQD是平行四邊形；

(2)PQ是否可能平分對(duì)角線BD?若能,求出當(dāng)為何值時(shí)PQ平分BD；若不能,請(qǐng)說明理由；

(3)當(dāng)PD=PQ時(shí),求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ平分對(duì)角線BD．（3）若△DPQ是以PQ為腰的等腰三角形，t的值為．

【解析】

（1）由題意可得當(dāng)t=4秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中AP=3t，CQ=t，即可得BP=12-3t，DQ=6-t，由t=，即可求得AP=DQ，又由AP∥DQ，即可判定四邊形APQD是平行四邊形；

（2）首先連接BD交PQ于點(diǎn)E，若PQ平分對(duì)角線BD，則DE=BE，易證得△DEQ≌△BEP，繼而可得四邊形DPBQ為平行四邊形，則可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案．

（3）分兩種情況：①當(dāng)PQ=PD時(shí)，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB與E，如圖所示：則DN=QM，AN=BE=（AB-CD）=3，ME=CQ=t，得出PN=AP-AN=3t-3，PM=BP-BE-ME=9-4t，由PN=PM得出方程，解方程即可；

②當(dāng)PQ=DQ=6-t時(shí)，由勾股定理得出方程，方程無(wú)解；即可得出答案．

（1）證明：∵＜，

∴當(dāng)t=4秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中AP=3t，CQ=t，

∴BP=12-3t，DQ=6-t，

當(dāng)t=時(shí)，DQ=6-=，AP=3×=，

∴AP=DQ

又∵四邊形ABCD為等腰梯形，

∴AP∥DQ，

∴四邊形APQD為平行四邊形；

（2）解：PQ能平分對(duì)角線BD，當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ平分對(duì)角線BD．

理由如下：

連接BD交PQ于點(diǎn)E，如圖1所示：

若PQ平分對(duì)角線BD，則DE=BE，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

在△DEQ和△BEP中，

，

∴△DEQ≌△BEP（AAS），

∴DQ=BP，

即四邊形DPBQ為平行四邊形，

∴6-t=12-3t，

解得t=3，符合題意，

∴當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ平分對(duì)角線BD．

（3）解：分兩種情況：

①當(dāng)PQ=PD時(shí)，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB與E，如圖2所示：

則DN=QM，AN=BE=（AB-CD）=3，ME=CQ=t，

∴PN=AP-AN=3t-3，PM=BP-BE-ME=9-4t，

∵PQ=PD，

∴PN=PM，

∴3t-3=9-4t，

解得：t=；

②當(dāng)PQ=DQ=6-t時(shí)，由勾股定理得：PQ2=QM2+PM2=42+（9-4t）2，

∴42+（9-4t）2=（6-t）2，

整理得：15t2-60t+61=0，

解得△＜0，方程無(wú)解；

綜上所述：若△DPQ是以PQ為腰的等腰三角形，t的值為．