Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A，B的坐標(biāo)分別是（0，3）（4，0），作直線l垂直AB，點P是直線l上的一個動點，作PC垂直x軸，垂足為C，連接AP，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，在x軸上取點Q，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)已知求出OA=3，OB=4，AB=5，畫出符合條件的兩個圖形，①當(dāng)P在x軸的上方時，證△AOB∽△PBA，得出比例式，求出AP即可；②當(dāng)p在x軸的下方時，過P作PM⊥x軸于M，證△AOQ∽△BOA，得出比例式，求出AQ=

15

4

，即BP=AQ=

15

4

，證△AOB∽△BMP，得出比例式，求出PM和BM，即可得出答案．

解答：解：∵點A，B的坐標(biāo)分別是（0，3）（4，0），
∴OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5，
分為兩種情況：①當(dāng)P在x軸的上方時，如圖1，

∵A、P、B、Q組成的四邊形是平行四邊形，
∴P點的縱坐標(biāo)和A點的縱坐標(biāo)相同，都是3，且AP∥x軸，
∴∠PAB=∠ABO，
∵∠ABP=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△PBA，
∴

AB

OB

=

AP

AB

，
∴

5

4

=

AP

5

，
∴AP=

25

4

，
即P的坐標(biāo)為（

25

4

，3）；
②當(dāng)p在x軸的下方時，如圖2，過P作PM⊥x軸于M，

則∠AOB=∠PMB=∠ABP=90°，
∵∠ABP=90°，四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴AQ=BP，∠QAB=90°，
∴∠AQO+∠QAO=90°，∠QAO+∠BAO=90°，
∴∠AQO=∠BAO，
∴△AOQ∽△BOA，
∴

AQ

AB

=

AO

OB

，
∴

AQ

5

=

3

4

，
∴AQ=

15

4

，
即BP=AQ=

15

4

，
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠PBM=90°，
∴∠OAB=∠PBM，
∴△AOB∽△BMP，
∴

AB

BP

=

OA

BM

=

OB

PM

，
∴

5

15 4

=

3

BM

=

4

PM

．
∴BM=

9

4

，PM=3，
∴OM=4-

9

4

=

7

4

，
即P的坐標(biāo)為（

7

4

，-3）．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想，有一定的難度．