Question

已知平面直角坐標(biāo)系中，A（0，6），B（8，3），求滿足△ABC是等腰直角三角形時點C的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：分當(dāng)A是直角三角形的直角頂點時，當(dāng)C在AB的下側(cè)或上側(cè)；以及當(dāng)B是直角三角形的直角頂點時，當(dāng)C在AB的下側(cè)或上側(cè)；以及當(dāng)C是直角三角形的直角頂點時，當(dāng)C在AB的下側(cè)或上側(cè)共6種情況進行討論，利用全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：1）當(dāng)A是直角三角形的直角頂點時，當(dāng)C在AB的下側(cè)時，設(shè)是C₁，作BD⊥y軸于點D，作C₁E⊥y軸于點D．
∵∠C₁AE+∠BAD=90°，
又∵直角△AC₁E中，∠C₁AE+∠C₁=90°，
∴∠C₁=∠BAD，
在△AC₁E和△BAD中，

∠C1=∠BAD ∠AEC1=∠ADB AB=AC1

，
∴△AC₁E≌△BAD，
∴C₁E=AD，AE=BD，
∵A（0，6），B（8，3），
∴C₁E=AD=6-3=3，AE=BD=8，
∴OE=AE-OA=8-6=2，
∴C₁的坐標(biāo)是（-3，-2）；
2）當(dāng)A是直角三角形的直角頂點時，當(dāng)C在AB的下側(cè)時，設(shè)是C₂，此時與C₁關(guān)于A對稱，則C₂的坐標(biāo)是：（3，14）；
3）當(dāng)B是直角三角形的直角頂點，當(dāng)C在AB的下側(cè)時，設(shè)是C₃，作C₃F⊥BD于點F，同1）可得：△AC₁E≌△C₃FB，
則BF=C₁E=3，C₃F=AE=8，
則C₃的坐標(biāo)是：（5，-5）；
4）當(dāng)B是直角三角形的直角頂點，當(dāng)C在AB的上側(cè)時，設(shè)是C₄，
則B是C₃C₄的中點，設(shè)C₄的坐標(biāo)是（x，y），則

3+x

2

=8，

-5+y

2

=3，
解得：x=13，y=11，
則C₄的坐標(biāo)是（13，11）；
5）當(dāng)C是直角頂點，則C一定在AB的中垂線上，在AB的下方時，設(shè)為C₅，作C₅H⊥y軸于H，過AB的中點G作GI⊥y軸于點I．
則△AHC₅∽△GIA，且相似比是：

AC5

AG

=

2

，GI=4，
∴

AH

IG

=

HG

AI

=

2

，
∴AH=

2

IG=4

2

，
∴OH=OA-AH=6-4

2

，HG=

2

AI=

3 2

2

，
∴C₅的坐標(biāo)是：（

3 2

2

，6-4

2

）；
6）當(dāng)C是直角頂點，則C一定在AB的中垂線上，在AB的上方時，設(shè)是C₆，C₅和C₆關(guān)于G（4，

9

2

）對稱，方法同4）即可求得C₆的坐標(biāo)是（

16-3 2

2

，3+4

2

）．
總之，C的坐標(biāo)是：（-3，-2）或（3，14）或（5，-5）或（13，11）或（

3 2

2

，6-4

2

）或（

16-3 2

2

，3+4

2

）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進行討論是關(guān)鍵．