Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為16，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值之和．

Answer 1

【答案】（1）90° （2）25 （3）

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積；

（3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值．

解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，

∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，

∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°；

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1＝∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

∴，

∵S△ABA1＝16，

∴S△CBC1＝25；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點(diǎn)D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；

①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至BP⊥AC時(shí)，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；

②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝2+5＝7；

因此，線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值的和為：7+﹣2=．