Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．
（1）試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求D與⊙O的位置關(guān)系，需先求OD的長(zhǎng)，再與其半徑相比較；若大于半徑則在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑則在圓內(nèi)；
（2）要證明直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)只要證明∠EDO=90°即可．
解答：（1）解：點(diǎn)D在⊙O上；理由如下：
設(shè)⊙O與BC交于點(diǎn)M，連接AM，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°，
在直角△ABM中，BM=AB•cos∠ABC=4×=2，
∵BC=，
∴M是BC的中點(diǎn)，則M與D重合．
∴點(diǎn)D在⊙O上；

（2）證明：
連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F；
∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，
∴DO是△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED
又∵DE⊥AC，
∴∠EDO=90°，∠EDO=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及切線(xiàn)的判定．解題時(shí)要注意連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是圓中的常見(jiàn)輔助線(xiàn)．