Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（8，0），點(diǎn)E（4，0）
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸垂線于點(diǎn)F，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在直線BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M，Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何時(shí)，△AMQ與△AOB相似？

Answer 1

解：（1）∵A（0，6），點(diǎn)B（8，0），
∴OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB==10；

（2）將點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（8，0），代入y=kx+b，
則，
解得：，
則直線AB的解析式為：y=-x+6，
∵點(diǎn)E（4，0），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸垂線于點(diǎn)F，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：4，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為：y=-×4+6=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，3）；

（3）如圖1，當(dāng)M與O對(duì)應(yīng)，則△AMQ∽△AOB，
∴=，
∵動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，
同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在直線BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，
∴AM=t，AQ=10-2t，
∴=，
解得：t=，
如圖2，當(dāng)M與B對(duì)應(yīng)，則△AMQ∽△ABO，
∴=，
∴=，
解得：t=，
綜上所述：當(dāng)t=秒或秒時(shí)，△AMQ與△AOB相似．
分析：（1）利用A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出AO，BO的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)；
（2）首先求出直線AB所在直線解析式，進(jìn)而利用P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，得出縱坐標(biāo)即可；
（3）若△AMQ與△AOB相似，則因?yàn)锳與A對(duì)應(yīng)，所以只有兩種情況，M與O對(duì)應(yīng)或者M(jìn)與B對(duì)應(yīng)分別求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及勾股定理和相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．