Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D在BC上，連接AD，點P在AD上，連接PC、PB．若tan∠CPD=2，PB=，且△APC與△BPC的面積相等，則AB的長為________．

Answer 1

2
分析：延長CP，過點A點B分別作AE⊥CE，BF⊥CF，CF交AB于O，過P作PN⊥AB于N，設AB=AC=2a，求出AE=BF，求出AO=BO=a，求出AO=AP=a，求出OE、PE、求出OP、求出ON、PN、求出BN、在Rt△BNP中，根據勾股定理即可求出a．
解答：
解：延長CP，過點A點B分別作AE⊥CE，BF⊥CF，CF交AB于O，過P作PN⊥AB于N，
設AB=AC=2a，
∵S_△APC=S_△BPC，
∴CP×AE=CP×BF，
∴AE=BF
∵∠AOE=∠BOF，∠BFO=∠AEO=90°，
∴在△BFO和△AEO中

∴△BFO≌△∠AEO，
∴AO=BO=a，
在RT△OAC中，tan∠AOC==2，
∵tan∠APO=tan∠CPD=2，
∴tan∠AOP=tan∠APO，
∴∠AOP=∠APO，
∴AP=AO=a，
在Rt△AEO中，tan∠AOP=2=，
∴AE=2OE，
∵AO=a，由勾股定理得：OE²+（2OE）²=a²，
OE=a，
∵AO=AP，AE⊥OP，
∴OE=PE=a，
∴OP=a，
在Rt△OPN中，tan∠AOP=2=，
∴PN=2ON，
∵OP=a，由勾股定理得：ON²+（2ON）²=（a）²，
∴ON=a，PN=2ON=a，BN=a+a=a，
在Rt△PNB中，由勾股定理得：BN²+PN²=BP²，
（a）²+（a）²=（）²，
a=，
∴AB=2a=2，
故答案為：2．
點評：本題考查了勾股定理，等腰直角三角形，解直角三角形，全等三角形的性質和判定的應用，綜合性比較強，難度偏大．