Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為2，O到定點(diǎn)A的距離為5，點(diǎn)B在⊙O上，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．若B在⊙O上運(yùn)動一周：

（1）證明點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是一個(gè)圓．

（思路引導(dǎo)：要證點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)P到定點(diǎn)M的距離等于定長r，由圖中的定點(diǎn)、定長可以發(fā)現(xiàn)M、r．）

（2）△ABC始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）≤PC≤

【解析】

（1）連接OA、OB，取OA的中點(diǎn)H，連接OB，HP，則HP是△ABO的中位線，HP=OB=1，即可得出結(jié)論；
（2）連接AO并延長AO交⊙O于點(diǎn)M、N，由等邊三角形的性質(zhì)得出PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，得出PC= AB，分別求出PC的最小值和最大值，即可得出答案．

（1）證明：連接OA、OB，取OA的中點(diǎn)H，連接OB，HP，如圖1所示：

則HP是△ABO的中位線，HP=OB=1，
∵點(diǎn)O與點(diǎn)A是定點(diǎn)，
∴OA的中點(diǎn)H也是定點(diǎn)，
∴B在⊙O上運(yùn)動，
則點(diǎn)P隨之運(yùn)動，但HP=OB=1不變，

∴B在⊙O上運(yùn)動一周，點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是以點(diǎn)H為圓心，半徑為1的一個(gè)圓；
（2）解：連接AO并延長AO交⊙O于點(diǎn)M、N，如圖2所示：
∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，
∴PC⊥AB，PA=PB=AB=BC，
∴PC=AB，
當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)M位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)P'位置，PC最短，
∵AM=OA-OM=5-2=3，
∴AP'=AM=，
∴PC=；
當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)N位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)P'位置，PC最長，
∵AN=OA+ON=5+2=7，
∴AP'=，
∴PC= ；
∴PC長的取值范圍是≤PC≤．