Question

【題目】如圖，AC是⊙O的一條弦，AP是⊙O的切線。作BM=AB并與AP交于點M，延長MB交AC于點E，交⊙O于點D，連接AD.

（1）求證：AB=BE；

（2）若⊙O的半徑R=5，AB=6，求AD的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) AD＝。

【解析】

(1)由切線的性質(zhì)可得∠BAE＋∠MAB＝90°，進而得∠AEB＋∠AMB＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠MAB＝∠AMB，繼而得到∠BAE＝∠AEB，根據(jù)等角對等邊即可得結(jié)論；

(2)連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ABC＝90°，利用勾股定理可求得BC=8，證明△ABC∽△EAM，可得∠C＝∠AME，，可求得AM＝，再由圓周角定理以及等量代換可得∠D＝∠AMD，繼而根據(jù)等角對等邊即可求得AD＝AM＝.

(1)∵AP是⊙O的切線，

∴∠EAM＝90°，

∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，

又∵AB＝BM，

∴∠MAB＝∠AMB，

∴∠BAE＝∠AEB，

∴AB＝BE；

(2)連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°

在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，

∴BC＝=8，

由(1)知，∠BAE＝∠AEB，

又∠ABC=∠EAM=90°，

∴△ABC∽△EAM，

∴∠C＝∠AME，，

即，

∴AM＝，

又∵∠D＝∠C，

∴∠D＝∠AMD，

∴AD＝AM＝.