Question

⊙O中，CD為直徑，CD⊥AB，垂足為E．
（1）如圖1，以C為端點作兩條射線，一條交⊙O、弦AB分別為F、H，另一條交⊙O、弦AB分別為G、K．求證：CF•CH=CG•CK．
（2）如圖2，若以C為端點的兩條射線，一條交⊙O、直線AB分別為F、H，另一條交⊙O、直線AB分別為G、K．問結論CF•CH=CG•CK是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接DF，DG，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠F=90°，
又∵直徑CD⊥弦AB，∴∠CEH=90°，
∴∠CEH=∠F．
又∵∠CEH=∠DCF，
∴△HCE∽△DCF，
∴，
∴CF•CH=CE•CD．
同理：CG•CK=CE•CD，
∴CF•CH=CG•CK；

（2）解：連接DF，DG，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠F=90°，
又∵直徑CD⊥弦AB，∴∠CEH=90°，
∴∠CEH=∠F．
又∵∠CEH=∠DCF，
∴△HCE∽△DCF，
∴，
∴CF•CH=CE•CD．
同理：CG•CK=CE•CD，
∴CF•CH=CG•CK．
分析：（1）連接DF，DG，由CD為⊙O的直徑可以得到∠F=90°，又CD為直徑，CD⊥AB，垂足為E得到∠AEH=90°，所以∠CEH=∠F，然后利用已知條件可以證明△HCE∽△DCF，接著利用相似三角形的性質得到，變形為CF•CH=CE•CD．同理得到CG•CK=CE•CD，由此即可解決問題；
（2）成立．證明過程同（1）．
點評：本題考查了在圓中證明等積式成立，此類題目證明的思路是將等積式轉化為比例式，再找三角形，證明三角形相似即可．