Question

某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件，如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品約售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
（2）若每個(gè)月的利潤(rùn)為2200元，求每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件，再根據(jù)每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件和銷售利潤(rùn)=件數(shù)×每件的利潤(rùn)列出關(guān)系式，即可得出答案．
（2）每個(gè)月的利潤(rùn)為賣出的商品數(shù)和每件商品的乘積，即（210-x）（10+x），當(dāng)每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元時(shí)得到方程（210-x）（10+x）=2200．求此方程中x的值；
（3）根據(jù)（1）得出的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行配方得出y=-10（x-5.5）²+2402.5，當(dāng)x=5.5時(shí)y有最大值，從而得出答案．

解答：解：（1）由題意得：y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x為整數(shù)）；

（2）根據(jù)題意，得（210-10x）（10+x）=2200．
整理，得x²-11x+10=0，解這個(gè)方程，得x₁=1，x₂=10
∴當(dāng)x=1時(shí)，50+x=51，當(dāng)x=10時(shí)，50+x=60．
答：當(dāng)每件商品的售價(jià)定為51元或60元時(shí)，每個(gè)月的利潤(rùn)恰為2200元．

（3）根據(jù)（1）得：
y=-10x²+110x+2100，
y=-10（x-5.5）²+2402.5，
∵a=-10＜0，
∴當(dāng)x=5.5時(shí)，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x為整數(shù)，
當(dāng)x=5時(shí)，50+x=55，y=2400（元），
當(dāng)x=6時(shí)，50+x=56，y=2400（元）
∴當(dāng)售價(jià)定為每件55或56元，每個(gè)月的利潤(rùn)最大，最大的月利潤(rùn)是2400元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，找出之間的等量關(guān)系，根據(jù)每天的利潤(rùn)=一件的利潤(rùn)×銷售件數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．