已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），頂點C（1，-4），與x軸交于A、B兩點，A（-1，0）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線的對稱軸交于點E，依次連接A、D、B、E，點Q為線段AB上一個動點（Q與A、B兩點不重合），過點Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，請判斷
QF
BE
+
QG
AD
是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點H是線段EQ上一點，過點H作MN⊥EQ，MN分別與邊AE、BE相交于M、N，（M與A、E不重合，N與E、B不重合），請判斷
QA
QB
=
EM
EN
是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，精英家教網(wǎng)請說明理由．
分析：（1）可將拋物線的解析式設為頂點式，然后將A點坐標代入，即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)兩對相似三角形：△AQF、△ABE和△BGQ、△BDA得出的對應成比例線段，即可求出所求的代數(shù)式是否為定值；
（3）易證得△EMN∽△FQE，得
EM
EN
=
FQ
EF
①，下面證
QF
EF
=
QA
QB
，需通過構建相似三角形求解；
過Q作QP⊥BE于P，則四邊形FQPE是矩形，F(xiàn)E=QP②；已知E在AB的垂直平分線上，可得：△AEB是等腰Rt△，進一步可知△AFQ、△QEB也是等腰Rt△；易證得△FAQ∽△PQB，得
QA
QB
=
QF
QP
③，聯(lián)立①②③即可證得所求的結論．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4，（1分）
將A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1）2-4，精英家教網(wǎng)
∴a=1，
∵拋物線的解析式為y=（x-1）2-4，
即y=x2-2x-3；（3分）

（2）是定值，
QF
BE
+
QG
AD
=1，（4分）
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵QF⊥AE，
∴QF∥BE，
∴△AQF∽△ABE，
∴
QF
BE
=
AQ
AB
，
同理：
QG
AD
=
QB
AB
，
∴
QF
BE
+
QG
AD
=
AQ
AB
+
QB
AB
=
AQ+QB
AB
=
AB
AB
=1；（6分）

（3）∵直線EC為拋物線的對稱軸，
∴EC垂直平分AB，
∴AE=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，（7分）
過點Q作QP⊥BE于P，如圖（8分）
由已知及作法可知，四邊形FQPE是矩形，
∴QP=FE且QP∥FE，
在△AQF和△QBP中，
∵∠EAB=∠BQP=45°，
∴QP=BP=FE且△AQF∽△QBP，
∴
QA
QB
=
QF
BP
，
∴
QA
QB
=
QF
BP
=
QF
FE
①，
在△QFE和△MEN中，
∵MN⊥EQ，
∴∠MNE+∠HEN=90°，
∵∠FEQ+∠HEN=90°，
∴∠MNE=∠FEQ，
又∵∠QFE=∠MEN=90°，
∴△EFQ∽△NEM，
∴
QF
FE
=
EM
EN
②，
由①、②知：
QA
QB
=
EM
EN
．（11分）
點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識；（3）題中，能夠正確的根據(jù)已知和所求條件構建出相似三角形是解題的關鍵．
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相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊．
（1）求證：拋物線與x軸必有兩個不同交點；
（2）設直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點，與y軸交于點M，拋物線與y軸交于點N，若拋物線的對稱軸為x=a，△MNE與△MNF的面積比為5：1，求證：△ABC是等邊三角形；
（3）在（2）的條件下，設△ABC的面積為
3
，拋物線與x軸交于點P、Q，問是否精英家教網(wǎng)存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓？若存在，求出圓的圓心坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（1，0），一條直線y=ax+b，它們的系數(shù)之間滿足如下關系：a＞b＞c．
（1）求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；
（2）設拋物線與直線的兩個交點為A、B，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為A1、B1．令k=
c
a
，試問：是否存在實數(shù)k，使線段A1B1的長為4
2
．如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•貴陽）已知：直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點P，如圖所示．
（1）頂點P的坐標是
（-1，4）
（-1，4）
；
（2）若直線y=ax+b經(jīng)過另一點A（0，11），求出該直線的表達式；
（3）在（2）的條件下，若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關于x軸成軸對稱，求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知：拋物線數(shù)學公式，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊．
（1）求證：拋物線與x軸必有兩個不同交點；
（2）設直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點，與y軸交于點M，拋物線與y軸交于點N，若拋物線的對稱軸為x=a，△MNE與△MNF的面積比為5：1，求證：△ABC是等邊三角形；
（3）在（2）的條件下，設△ABC的面積為數(shù)學公式，拋物線與x軸交于點P、Q，問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓？若存在，求出圓的圓心坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：2009年四川省綿陽市南山中學自主招生考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知：拋物線，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊．
（1）求證：拋物線與x軸必有兩個不同交點；
（2）設直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點，與y軸交于點M，拋物線與y軸交于點N，若拋物線的對稱軸為x=a，△MNE與△MNF的面積比為5：1，求證：△ABC是等邊三角形；
（3）在（2）的條件下，設△ABC的面積為，拋物線與x軸交于點P、Q，問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓？若存在，求出圓的圓心坐標，若不存在，請說明理由．

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