Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，過C點(diǎn)作CG∥AD交AB的延長線于點(diǎn)G，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．

（1）試問：CG是⊙O的切線嗎？說明理由；

（2）請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；

（3）若AB=8，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）CG是⊙O的切線；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）已知點(diǎn)C在圓上，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切線．

（2）方法比較多，應(yīng)通過等邊三角形的性質(zhì)或三角形全等的思路來考慮；

（3）Rt△OCE中，由三角函數(shù)的定義，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的長．

試題解析：（1）CG是⊙O的切線．理由如下：

∵CG∥AD，∵CF⊥AD，∴OC⊥CG，∴CG是⊙O的切線；

（2）連接AC，如圖，∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE過圓心O，∴，，∴AC=AD=CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠D=60°，∴∠FCD=30°，在Rt△COE中，∴OE=OB，∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)．

（3）∵AB=8，∴OC=AB=4．又∵BE=OE，∴OE=2，∴CE=OE×cot30°=．∵AB⊥CD，∴CD=2CE=．