Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四邊形CFDE為矩形，其中CF，CE在兩直角邊上．設(shè)矩形的一邊CF=xcm．當(dāng)x取何值時(shí)，矩形ECFD的面積S最大？最大是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：首先由矩形的性質(zhì)可證明△AED∽△ACB，△DBF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可得到關(guān)于CF和DF的數(shù)量關(guān)系，利用矩形的面積公式即可得到s和x的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而可求出矩形ECFD的面積S最大值．

解答：解：∵四邊形CFDE為矩形，
∴DE∥BC，D∥AC，
∴△AED∽△ACB，△DBF∽△ABC，
∵CF=xcm．
∴BF=BC-CF=4-x，
∴

DF

AC

=

BF

BC

，
∴

DF

3

=

4-x

4

，
∴DF=

3(4-x)

4

，
∴矩形ECFD的面積S=CF•DE=x•

3(4-x)

4

=-

3

4

（x-

5

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)x=2.5時(shí)，有最大值

25

4

．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)由相似三角形的性質(zhì)求出x的值是關(guān)鍵．