Question

已知正方形ABCD的邊長為4，P、Q分別為AB、AD上的點(diǎn)，且PC⊥PQ，PA：PB=1：3，則PQ=

5

4

；S_{四邊形PQDC}=

77

8

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，由正方形ABCD的邊長為4，PA：PB=1：3，即可求得PA與PB的長，由勾股定理，即可求得PC的長，又由PC⊥PQ，可證得△APQ∽△BCP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得PQ的長，繼而求得AQ的長，然后可求得△APQ與△BCP的面積，由S_{四邊形PQDC}=S_{正方形ABCD}-S_△PAQ-S_△PBC，即可求得S_{四邊形PQDC}的值．

解答：解：如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=BC=4，
∵PA：PB=1：3，
∴PA=1，PB=3，
∴PC=

PB2+BC2

=5，
∵PC⊥PQ，
∴∠APQ+∠BPC=90°，
∵∠APQ+∠AQP=90°，
∴∠AQP=∠BPC，
∴△APQ∽△BCP，
∴

AP

BC

=

PQ

PC

，
即：

1

4

=

PQ

5

，
∴PQ=

5

4

，
∴AQ=

PQ2-AP2

=

3

4

，
∴S_△PAQ=

1

2

PA•AQ=

1

2

×1×

3

4

=

3

8

，S_△PBC=

1

2

PB•BC=

1

2

×3×4=6，S_{正方形ABCD}=16，
∴S_{四邊形PQDC}=S_{正方形ABCD}-S_△PAQ-S_△PBC=16-

3

8

-6=

77

8

．
故答案為：

5

4

，

77

8

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意判定△APQ∽△BCP，利用相似三角形的性質(zhì)求解．