Question

【題目】在中，，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．

（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)時(shí)，線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則的值是________，直線與相交所成的較小角的度數(shù)是________；

（2）類比探究：如圖2，當(dāng)時(shí)，線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．請(qǐng)直接寫出與相交所成的較小角的度數(shù)，并說明與相似，求出的值；

（3）拓展延伸：當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為，線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若點(diǎn)A，C，P在一條直線上時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）1，60°；（2），直線AP與相交所成的較小角的度數(shù)是45°；（3）的值為或．

【解析】

解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于K，設(shè)交于J．

∵，

∴都是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，直線與相交所成的較小角的度數(shù)是60°，

故答案為1，60°．

（2）如圖2中，設(shè)交于O．

∵，

∴都是等腰直角三角形，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，直線AP與相交所成的較小角的度數(shù)是45°．

（3）如圖3-1中，當(dāng)點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，則，

∵，

∴，

在中，∵，

∴，

∴．

如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)P落在上時(shí)，設(shè)，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

綜上所述， 的值為或．