【題目】拋物線y=﹣x2x+x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).

(1)如圖1,連接CD,求線段CD的長(zhǎng);

(2)如圖2,點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn),PFx軸于點(diǎn)F,PF與線段AC交于點(diǎn)E;將線段OB沿x軸左右平移,線段OB的對(duì)應(yīng)線段是O1B1,當(dāng)PE+EC的值最大時(shí),求四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值,并求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐標(biāo);

(3)如圖3,點(diǎn)H是線段AB的中點(diǎn),連接CH,將△OBC沿直線CH翻折至△O2B2C的位置,再將△O2B2C繞點(diǎn)B2旋轉(zhuǎn)一周在旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)O2,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)O3,C1,直線O3C1分別與直線AC,x軸交于點(diǎn)M,N.那么,在△O2B2C的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中,是否存在恰當(dāng)?shù)奈恢,使?/span>AMN是以MN為腰的等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的線段O2M的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)(3),O2M的長(zhǎng)

【解析】

(1)分別表示CD的坐標(biāo),利用勾股定理可得CD的長(zhǎng);

(2)令y=0,可求得A(-3,0),B(,0),利用待定系數(shù)法可計(jì)算直線AC的解析式為:y=x+,設(shè)E(x,x+),P(x,x2x+),表示PE的長(zhǎng),利用勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng),發(fā)現(xiàn)∠CAO=30°,得AE=2EF=x+2,計(jì)算PE+EC,利用配方法可得當(dāng)PE+EC的值最大時(shí),x=-2,此時(shí)P(-2,),確定要使四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小,即PO1+B1C的值最小,將點(diǎn)P向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)P1(-,),連接P1B1,則PO1=P1B1,再作點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P2(-,-),可得結(jié)論;

(3)先確定對(duì)折后O2C落在AC上,△AMN是以MN為腰的等腰三角形存在四種情況:

①如圖4,AN=MN,證明△C1EC≌△B2O2M,可計(jì)算O2M的長(zhǎng);

②如圖5,AM=MN,此時(shí)MC重合,O2M=O2C=;

③如圖6,AM=MN,NH、C1重合,可得結(jié)論;

④如圖7,AN=MN,過C1C1E⊥ACE證明四邊形C1EO2B2是矩形,根據(jù)O2M=EO2+EM可得結(jié)論.

(1)如圖1,過點(diǎn)DDK⊥y軸于K,

當(dāng)x=0時(shí),y=,

∴C(0,),

y=x2x+=-,

∴D(-),

∴DK=,CK=-=,

∴CD=

(2)在y=-x2x+中,令y=0,則-x2x+=0,

解得:x1=-3,x2=,

∴A(-3,0),B(,0),

∵C(0,),

易得直線AC的解析式為:y=x+,

設(shè)E(x,x+),P(x,-x2x+),

∴PF=-x2x+,EF=x+,

Rt△ACO中,AO=3,OC=,

∴AC=2,

∴∠CAO=30°,

∴AE=2EF=x+,

∴PE+EC=(-x2x+)-(x+)+(AC-AE),

=-x2-x+ [2-(x+)],

=-x2-x-x,

=-(x+22+

∴當(dāng)PE+EC的值最大時(shí),x=-2,此時(shí)P(-2,),

∴PC=2

∵O1B1=OB=,

∴要使四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小,即PO1+B1C的值最小,

如圖2,將點(diǎn)P向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)P1(-,),連接P1B1,則PO1=P1B1

再作點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P2(-,-),則P1B1=P2B1,

∴PO1+B1C=P2B1+B1C,

∴連接P2Cx軸的交點(diǎn)即為使PO1+B1C的值最小時(shí)的點(diǎn)B1,

∴B1(-,0),

B1向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得點(diǎn)O1

此時(shí)PO1+B1C=P2C=,

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(-,0),

∴四邊形PO1B1C周長(zhǎng)的最小值為

(3)O2M的長(zhǎng)度為2+2-

理由是:如圖3,

∵HAB的中點(diǎn),

∴OH=,

∵OC=,

∴CH=BC=2,

∴∠HCO=∠BCO=30°,

∵∠ACO=60°,

∴將CO沿CH對(duì)折后落在直線AC上,即O2AC上,

∴∠B2CA=∠CAB=30°,

∴B2C∥AB,

∴B2(-2,),

①如圖4,AN=MN,

∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3,

由旋轉(zhuǎn)得:∠CB2C1=∠O2B2O3=30°,B2C=B2C1,

∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°,

C1C1E⊥B2CE,

∵B2C=B2C1=2,

C1E=B2O2,B2E=,

∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1,

∠B2O2M=∠C1EC=90°,

∴△C1EC≌△B2O2M,

∴O2M=CE=B2C-B2E=2-;

②如圖5,AM=MN,此時(shí)MC重合,O2M=O2C=,

③如圖6,AM=MN,

∵B2C=B2C1=2=B2H,即NH、C1重合,

∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°,

∴O2M=AO2=;

④如圖7,AN=MN,過C1C1E⊥ACE,

∴∠NMA=∠NAM=30°,

∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA,

∴C1B2∥AC,

∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°,

∵∠C1EC=90°,

∴四邊形C1EO2B2是矩形,

∴EO2=C1B2=2C1EB2O2,

∴EM=

∴O2M=EO2+EM=2+,

綜上所述,O2M的長(zhǎng)是2+2

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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí),①請(qǐng)判斷線段BCBD的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論;

②請(qǐng)?zhí)骄烤段AC,ADBE之間的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)論并證明;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長(zhǎng)線上時(shí),BC交射線AM于點(diǎn)F,若AB=4,AC=,請(qǐng)直接寫出線段ADDF的長(zhǎng).

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(1)求n的值和拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D在拋物線上,DEy軸交直線l于點(diǎn)E,點(diǎn)F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(0t4),矩形DFEG的周長(zhǎng)為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;

(3)將AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到A1O1B1,點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、O1、B1.若A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點(diǎn)為“落點(diǎn)”,請(qǐng)直接寫出“落點(diǎn)”的個(gè)數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時(shí)點(diǎn)A1的橫坐標(biāo).

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