Question

如果自然數(shù)a，b，c滿足a²+b²=c²，求證：
（1）a，b中至少有一個是偶數(shù)；
（2）a，b中至少有一個是3的倍數(shù)；
（3）a，b，c中至少有一個是5的倍數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設a、b都是奇數(shù)，根據(jù)a²+b²=c²可知c為偶數(shù)，c²為4的倍數(shù)，利用字母表示奇數(shù)a、b，推出矛盾；
（2）假設a、b都不是3的倍數(shù)，則a、b被3除余數(shù)為1或2，根據(jù)a²+b²=c²可知a²+b²被3除余數(shù)為2，即為3m+2不是完全平方式，推出矛盾；
（3）假設a、b、c都不是5的倍數(shù)，而完全平方數(shù)除以5余數(shù)只能0，1，4，根據(jù)a²+b²=c²，分析余數(shù)的幾種可能，推出矛盾．
解答：證明：運用反證法證明．
（1）假設a、b都是奇數(shù)，則c為偶數(shù)，c²為4的倍數(shù)，
設a=2m+1，b=2n+1（m、n為整數(shù)），
則a²+b²=（2m+1）²+（2n+1）²=2（2m²+2n²+2m+2n+1）
為2的奇數(shù)倍，不是4的倍數(shù)，與題設矛盾，
∴a，b中至少有一個是偶數(shù)；

（2）假設a、b都不是3的倍數(shù)，則a、b被3除余數(shù)為1或2，
a²+b²被3除余數(shù)為2，即為3m+2（m為整數(shù)），
而3m+2不是完全平方式，故假設不成立，
∴a，b中至少有一個是3的倍數(shù)；

（3）假設a、b、c都不是5的倍數(shù)，
∵完全平方數(shù)除以5余數(shù)只能0，1，4，
則a²，b²，c²，被5除后余數(shù)只能是1、1、1或1、1、4或1、4、4或4、4、4，
這些都不能使a²+b²=c²成立，
∴a、b、c不能同時不整除5．
點評：本題考查了整數(shù)的整除性問題．關鍵是利用反證法，否定結(jié)論，利用結(jié)論的反面，推出矛盾．