Question

【題目】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE．求證：CE＝CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠GCE＝45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD．

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）108

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)正方形的性質(zhì)以及BE=DF得出△CBE和△CDF全等，從而得出答案；(2)、延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE．連接CF，然后證明△ECG和△FCG全等，從而得出GE=GF，從而得出答案；(3)、過C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G，根據(jù)(1)(2)得出DG=6，設(shè)AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，根據(jù)Rt△AED的勾股定理求出x的值，最后根據(jù)四邊形的面積= 得出答案.

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF．

（2）證明： 如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE．連接CF．

由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG． ∴GE＝GF

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）解：如圖3，過C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G．

在四邊形ABCD中， ∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四邊形ABCD 為正方形． ∴AG＝BC． 已知∠DCE＝45°，

根據(jù)（1）（2）可知，ED＝BE＋DG． 所以10=4+DG，即DG=6.

設(shè)AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6

在Rt△AED中， ∵，即．

解這個(gè)方程，得：x＝12，或x＝－2（舍去）． ∴AB＝12．

所以四邊形ABCD的面積為S=

答：四邊形ABCD的面積為108.