【題目】(問題提出)
求證:如果一個定圓的內(nèi)接四邊形對角線互相垂直,那么這個四邊形每組對邊的平方和是一個定值.
(從特殊入手)
我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R,⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD.請你在圖①中補全特殊位置時的圖形,并借助于所畫圖形探究問題的結(jié)論.
(問題解決)
已知:如圖②,定圓⊙O的半徑是R,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, AC⊥BD.
求證: .
證明:
【答案】【從特殊入手】證明見解析;【問題解決】AB2+CD2=BC2+AD2=4R2;證明見解析.
【解析】
【從特殊入手】:根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理計算;
【問題解決】:根據(jù)題意寫出已知、求證,作直徑DE,連接CE,根據(jù)圓周角定理證明∠ADB=∠CDE,得到AB=CE,根據(jù)勾股定理計算.
【從特殊入手】
解:如果一個定圓的內(nèi)接四邊形對角線互相垂直,
那么這個四邊形的對邊平方和是定圓半徑平方的4倍.
情況一: 如圖1,當(dāng)AC、BD是兩條互相垂直的直徑時.
則AB2=OA2+ OB2=R2+R2=2R2,
CD2=OC2+ OD2=R2+R2=2R2,
BC2=OC2+ OB2=R2+R2=2R2,
AD2=OA2+ OD2=R2+R2=2R2.
所以AB2+CD2=BC2+AD2=2R2+2R2=4R2.
情況二: 如圖2,當(dāng)AC⊥BD,且AC直徑時.
根據(jù)垂徑定理可知:AB=AD,BC=DC.
因為AC是直徑,所以∠ABC=∠ADC=90°.
所以AB2+CD2=AD2+CD2=AC2=4R2.
【問題解決】
求證:AB2+CD2=BC2+AD2=4R2
證明:如圖3.作直徑DE,連接CE.
∵DE是直徑,∴∠DCE=90°.
∵ 所對的圓周角是∠E與∠DAH,
∴∠E=∠DAH.
∵∠DAC+∠ADB=90°,∠E+∠CDE=90°,
∴∠ADB=∠CDE.
∴ .∴AB=CE.
∴AB2+CD2=CE2+CD2=DE2=4R2.
同理:BC2+AD2=4R2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,在以AB的中點O為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標(biāo)系中,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使點A旋轉(zhuǎn)至y軸的正半軸上的A處,若AO=OB=2,則陰影部分面積為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,點C,D在⊙O上,且點C是的中點,過點 C作AD的垂線 EF交直線 AD于點 E.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)連接BC,若AB=5,BC=3,求線段AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】八(2)班組織了一次經(jīng)典誦讀比賽,甲、乙兩隊各10人的比賽成績?nèi)缦卤?10分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲隊成績的中位數(shù)是 分,乙隊成績的眾數(shù)是 分;
(2)計算乙隊的平均成績和方差;
(3)已知甲隊成績的方差是1.4,則成績較為整齊的是 隊.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象過點A(4,1)與正比例函數(shù)()的圖象相交于點B(,3),與軸相交于點C.
(1)求一次函數(shù)和正比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點D是點C關(guān)于軸的對稱點,且過點D的直線DE∥AC交BO于E,求點E的坐標(biāo);
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在一點,使.若存在請求出點的坐標(biāo),若不存在請說明理由.
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【題目】小明和小亮為下周日計劃了三項活動,分別是看電影(記為A)、去郊游(記為B)、去圖書館(記為C).他們各自在這三項活動中任選一個,每項活動被選中的可能性相同.
(1)小明選擇去郊游的概率為多少;
(2)請用樹狀圖或列表法求小明和小亮的選擇結(jié)果相同的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC=6,BC=4,點D、E分別在邊AB、AC上,且AD=AE=1,連接DE、CD,點M、N、P分別是線段DE、BC、CD的中點,連接MP、PN、MN.
(1)求證:△PMN是等腰三角形;
(2)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),
①如圖2,當(dāng)點D、E分別在邊AC兩側(cè)時,求證:△PMN是等腰三角形;
②當(dāng)△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到第一次點D、E、C在一條直線上時,請直接寫出此時BD的長.
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【題目】兩個一次函數(shù)l1、l2的圖象如圖:
(1)分別求出l1、l2兩條直線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求出兩直線與y軸圍成的△ABP的面積;
(3)觀察圖象:請直接寫出當(dāng)x滿足什么條件時,l1的圖象在l2的下方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.
(1)求證:CE=AD;
(2)當(dāng)D在AB中點時.
①求證:四邊形BECD是菱形;
②當(dāng)∠A為多少度時,四邊形BECD是正方形?說明理由.
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