Question

【題目】如圖，點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

以CD為邊在CD的右側(cè)作等邊三角形CDE，連接AE，結(jié)合等邊三角形ABC可證△ACE≌△BCD，進(jìn)而可證得∠AED＝∠AEC－∠CED＝60°，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，利用三角函數(shù)還可求得，再根據(jù)AD與AF的大小關(guān)系可得即，進(jìn)而求得答案．

解：如圖，以CD為邊在CD的右側(cè)作等邊三角形CDE，連接AE，

∵△CDE和△ABC為等邊三角形，

∴CD＝CE，AC＝BC，∠DCE＝∠ACB＝∠CDE＝∠CED＝60°，

∵∠BDC＝120°，

∴∠BDC＋∠CDE＝180°，

∴點(diǎn)B、D、E在同一直線上，

∵∠DCE＝∠ACB，

∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，

即∠ACE＝∠BCD，

在△ACE與△BCD中，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC＝120°，

∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝60°，

過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，

在Rt△AFE中，sin∠AEF＝，

則sin60°＝，

當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)F重合時(shí)，AD＞AF，

則，

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時(shí)，AD＝AF，

則，

∴，

∴，

∴的最小值為，

故答案為：．