Question

【題目】(1)如圖①，△ABC是等邊三角形，△ABC所在平面上有一點(diǎn)P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，問(wèn)：具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有幾個(gè)？在圖中畫(huà)出來(lái)．

(2)如圖②，正方形ABCD所在的平面上有一點(diǎn)P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，問(wèn)：具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有幾個(gè)？在圖中畫(huà)出來(lái)．

Answer 1

【答案】（1）10個(gè)（2）9個(gè)

【解析】試題分析:（1）點(diǎn)P在三角形的內(nèi)部時(shí),點(diǎn)P到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,點(diǎn)P是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),所以點(diǎn)P是三角形的外心;點(diǎn)P在三角形外部時(shí),每條邊的垂直平分線上的點(diǎn)只要能夠使頂點(diǎn)這條邊的兩端點(diǎn)連接而成的三角形是等腰三角形即可.

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得,滿足這樣的點(diǎn)首先有:兩條對(duì)角線的交點(diǎn),再以四個(gè)頂點(diǎn)為圓心,以正方形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,在正方形里面和外面的交點(diǎn)一共有8個(gè).

試題解析:具體作法如下,

（1）10個(gè),如解圖①,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí),P是邊AB,BC,CA的垂直平分線的交點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí),P是以三角形各頂點(diǎn)為圓心,邊長(zhǎng)為半徑的圓與三條垂直平分線的交點(diǎn),每條垂直平分線上得3個(gè)交點(diǎn).故具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P共有10個(gè).

(2)9個(gè),如解圖②,兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是1個(gè),以正方形各頂點(diǎn)為圓心,邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,在正方形里面和外面的交點(diǎn)一共有8個(gè),故具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P共有9個(gè).

點(diǎn)睛:本題主要考查垂直平分線的性質(zhì),正方形性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),要求學(xué)生熟練掌握利用垂直平分線的性質(zhì),正方形和等腰三角形的性質(zhì)找出符合條件的點(diǎn).