Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，）．以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c恰好經(jīng)過(guò)x軸上A、B兩點(diǎn)．
（1）A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．
（3）若一動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)D中點(diǎn)N出發(fā)，先到達(dá)x軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E）再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F）最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c恰好經(jīng)過(guò)x軸上A、B兩點(diǎn)，
∴CM為拋物線的對(duì)稱軸，
∴CM⊥AB，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2，），
∴CD=AB=BC=AD=2，CM=，
∴sin∠ABC==，
∴∠ABC=60°，
∴∠ODA=30°，
∴OA=1，OD=，
∴OB=OA+AB=3，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，）；

（2）設(shè)A、B、C三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），
把A，B點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：y=a（x-1）（x-3），
再把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：=a（2-1）（2-3），
解得：a=-，
所以；

（3）如圖，作D關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)D′，作N關(guān)于x軸對(duì)稱的N′連接N′D′，交x軸于點(diǎn)E，交x=2于點(diǎn) F，則E、F為所求點(diǎn)．
∵DD′=4，DN′=，
∴D′N′==，
這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)為．
分析：（1）由菱形的性質(zhì)和已知點(diǎn)C的坐標(biāo)即可求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)A、B、C三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）把A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到拋物線的解析式；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)求解．可做C點(diǎn)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)D′，做N點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接N′D′．那么E、F就是直線N′D′與x軸和拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，利用勾股定理求出長(zhǎng)度即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用對(duì)稱求最小值問(wèn)題和勾股定理和銳角三角函數(shù)等知識(shí)，利用根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和軸對(duì)稱的性質(zhì)來(lái)求解是解題關(guān)鍵．