把兩個(gè)正方形紙片在相同的頂點(diǎn)A處釘上一個(gè)釘子,然后旋轉(zhuǎn)小正方形AEFG.已知大正方形的邊長為4,小正方形的邊長為a(a≤2).(以下答案可以用含a的代數(shù)式表示)
(1)把小正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn),讓點(diǎn)F落在正方形ABCD的邊AD上得圖1,求△BDF的面積S△BDF;
(2)把小正方形AEFG繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得圖2,求圖中△BDF的面積S△BDF;
(3)把小正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)△BDF的面積為S△BDF,試求S△BDF的取值范圍,并說明理由.

【答案】分析:(1)觀察圖形,△BDF的面積可由△ABD、ABF的面積差得到,可分別求出△ABD、△ABF的面積,然后作差即可.
(2)思路同(1),△BDF的面積,可由△ABD、梯形AGFD的面積和減去△ABF的面積求得,即可得解.
(3)過F作BD的垂線,設(shè)垂足為H,由于BD是定值,△BDF的面積最大,則FH最大,△BDF的面積最小,則FH最;可據(jù)此畫出圖形,求出兩種情況下△FDH的面積,從而得到其取值范圍.
解答:解:
(1)S△BDF=S△ABD-S△ABF,
∵小正方形的邊長為a,
∴AF=a,
∴S△BDF=S△ABD-S△ABF
=4×4×-×4×a=8-2a.

(2)如圖1,S△BDF=S△ABD+S梯形AGFD-S△BGF=×4×4+×a(4+a)-×a(4+a)=8.

(3)如圖2,作FH⊥BD于H點(diǎn),連接AF.則S△BDF=×BD×FH,
因?yàn)樾≌叫蜛EFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,所以點(diǎn)F離線段BD的距離是變化的,即FH的長度是變化的.
由于BD得長度是定值,所以當(dāng)FH取得最大值時(shí)S△BDF最大,當(dāng)FH取得最小值時(shí)S△BDF最。
所以當(dāng)點(diǎn)F離BD最遠(yuǎn)時(shí),F(xiàn)H取得最大值,此時(shí)點(diǎn)F、A、H在同一條直線上(如圖3所示);
當(dāng)點(diǎn)F離BD最近時(shí),F(xiàn)H取得最小值,此時(shí)點(diǎn)F、A、H也在同一條直線上(如圖4所示).
在圖3中,S△BDF=BD×FH=×4(2+a)=8+4a,
在圖4中,S△BDF=BD×FH=×4(2-a)=8-4a,
∴S△BDF的取值范圍是:8-4a≤S△BDF≤8+4a.

點(diǎn)評(píng):此題主要考查了正方形的性質(zhì)、圖形面積的求法以及圖形的旋轉(zhuǎn)變換,(3)題中,正確地作出輔助線,并判斷出△BDF的面積與FH的關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵.
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(2)把小正方形AEFG繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得圖2,求圖中△BDF的面積S△BDF;
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