Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+1分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD⊥BC交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥CD交軸于點(diǎn)x E，過點(diǎn)E作EF⊥DE交y軸于點(diǎn)F．已知點(diǎn)A恰好是線段EC的中點(diǎn)，那么線段EF的長是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)解析式確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直角三角形和射影定理，最后用中位線定理計(jì)算出結(jié)果．

解答：解：因?yàn)锳B的解析式為y=kx+1，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

k

，0），
由于圖象過一、二、三象限，故k＞0，
又因?yàn)锽C⊥AB，BO⊥AC，
所以在Rt△ABC中，BO²=AO•CO，代入數(shù)值為：1=

1

k

•CO，CO=k，
同理，在Rt△BCD中，CO²=BO•DO，
代入數(shù)值為：k²=1•DO，DO=k²又因?yàn)锳恰好是線段EC的中點(diǎn)，所以B為FD的中點(diǎn)，OF=1+1+k²，Rt△FED中，
根據(jù)射影定理，EO²=DO•OF，即（k+

1

k

+

1

k

）²=k²•（1+k²+1），
整理得（k-

2

）（k+

2

）（k²+2）（k²+1）=0，解得k=

2

．
根據(jù)中位線定理，EF=2GB=2DC，DC=

( 2 )2+(( 2 )2)2

=

6

，EF=2

6

．

點(diǎn)評：根據(jù)圖中的直角三角形的特點(diǎn)，多次利用射影定理，用未知數(shù)k表示出各邊長并建立起關(guān)于k的方程，再利用中位線定理解答．