【題目】如圖1,平面直角坐標系x0y中,點A(0,2),B(1,0),C(﹣4,0)點D為射線AC上一動點,連結BD,交y軸于點F,⊙M是△ABD的外接圓,過點D的切線交x軸于點E.
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)當點D在線段AC上時,
①證明:△CDE∽△ABF;
②如圖2,⊙M與y軸的另一交點為N,連結DN、BN,當四邊形ABND為矩形時,求tan∠DBC;
(3)點D在射線AC運動過程中,若,求的值.
【答案】(1)直角三角形;(2)①證明見解析,②;(3)或
【解析】試題分析:(1)已知三個點的坐標,可以求出相應線段的長度,運用三角函數(shù)可以證明∠ACO=∠BAO,進一步證明∠BAC=90°;
(2)只需證明∠CDE=∠ABD,∠DCE=∠BAF,即可證明相似;
當四邊形ABND為矩形時,根據(jù)直角三角形AOB和直角三角形ABN相似,可求AN長度,進一步求出OM,運用三角函數(shù)求解即可;
(3)根據(jù)點D在線段AC上,和線段AC的延長線上分別討論求解;
試題解析:
解:由點A(0,2),B(1,0),C(﹣4,0)可知:OA=2,OC=4,OB=1,
在直角三角形AOC和直角三角形AOB中,根據(jù)勾股定理可求:AC= =2,
AB==.
(1)在直角三角形AOC和直角三角形AOB中,tan∠ACO=,tan∠BAO=,所以∠ACO=∠BAO,
∵∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BAO+∠CAO=90°,∠BAC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
(2)①由(1)知:∠BAC=90°,∴BD是圓M的直徑,
∵DE是圓M的切線,∴∠BDE=90°.
∴∠CDE+∠ADB=90°,又∠ADB+∠ABD=90°,∴∠CDE=∠ABD,
∵∠DCE+∠ABO=90°,∠ABO+∠BAF=90°,∴∠DCE=∠BAF
∴△CDE∽△ABF.
②當四邊形ABND為矩形時,∵∠ABN=90°,∴AN是圓的直徑,由OB是直角三角形ABN的斜邊上的高線,由∠BAO=∠BA0,∠BOA=∠ABN=90°,
∴△AOB∽△ABN,
∴, ∴AB2=OA×AN,
∵OA=2,AB=,可求:AN=,
∴ON=,OM=MN﹣ON=,
在直角三角形OBN中,
tan∠DBC==.
(3)若點D 在線段AC上,
如圖2:由①知△CDE∽△ABF可得: ,AC=2,
由,可得:CD=,AD=,
在直角三角形ABD中,由勾股定理可求:BD==,
∵∠CBD=∠FBO,∠BOF=∠BDE=90°,
∴△BFO∽△BED,
∴,
設:DE=2x,則BF=3x,由勾股定理得:OF==,
∴,解得: ,
∴DE=,BF=,DF=BD﹣DF=,
∴=,
若點D在線段AC的延長線上,
如圖3:∵DE是圓M的切線,
∴∠BDE=90°
∴∠EDC+∠CDB=90°
∵∠ABD+∠CDB=90°
∴∠EDC=∠ABD,
∵∠DEB+∠DBE=90°,∠DBE+∠OFB=90°
∴∠DEB=∠OFB,
∴△CDE∽△ABF,可得: ,AC=2,
由,可得:CD=,∴AD=AC+CD=,
由勾股定理得:BD==,
∵∠CBD=∠FBO,∠BOF=∠BDE=90°,
∴△BFO∽△BED,
∴,
設:DE=2x,則BF=3x,
由勾股定理得:OF==,
∴,解得: ,
∴DE=2x=,BF=3x=,DF=BD﹣DF=,
∴=,
綜上所述: 的值是或.
圖3
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計,2019年第一季度,深圳新出臺的小微企業(yè)普惠性減稅政策合計減稅13.53億元.“13.53億”用科學記數(shù)法表示為( 。
A. 13.53×102B. 1.353×109C. 0.1353×102D. 1.353×102
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如果10m表示向北走10m,那么﹣20m表示的是( )
A. 向東走20m B. 向南走20m C. 向西走20m D. 向北走20m
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某印刷廠印刷某尺寸的廣告紙,印刷張數(shù)為a(單位:萬張),需按整千張印刷計費,收費規(guī)定如下: ①若a≤1:單價為0.4元/張;
②若1<a≤2:每增加0.1萬張,所有廣告紙每張減少0.01元,費用再9折優(yōu)惠;
③若a>2:每增加0.1萬張,所有廣告紙每張減少0.02元,費用再8折優(yōu)惠.
(1)若某客戶要印刷廣告紙1.5萬張,則該客戶需支付費用元;
(2)若某客戶支付了廣告紙費用0.6萬元,求印刷張數(shù)a的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列關系一定成立的是( )
A. 若|a|=|b|,則a=b B. 若|a|=b,則a=b
C. 若|a|=﹣b,則a=b D. 若a=﹣b,則|a|=|b|
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