Question

如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），直線BC：y=

1

2

x+2切⊙A于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)B．
（1）⊙A的半徑為

 

；
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP=120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）向左移動(dòng)⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）如圖，連接AC．根據(jù)直線BC的解析式易求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；然后由垂徑定理，在直角△AOC中，由勾股定理可以求得半徑AC的長(zhǎng)度；
（2）過(guò)G點(diǎn)作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設(shè)G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用銳角三角函數(shù)的定義可求出CG的長(zhǎng)，
由勾股定理可得出BC的長(zhǎng)，由OC∥GH可得出

OH

BO

=

CG

BC

，進(jìn)而可求出G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）假設(shè)△AEF為直角三角形，由AE=AF可判斷出△AEF為等腰三角形，可得出∠EAF=90°，過(guò)A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的長(zhǎng)度，證出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性質(zhì)可得出A點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)圓心為A′，過(guò)A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性質(zhì)可得出A′點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1，連接AC．
∵直線BC的解析式為y=

1

2

x+2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2．
∴C（0，2）．
∴OC=2．
又∵圓心A的坐標(biāo)為（1，0），
∴OA=1，
∴在直角△AOC中，由勾股定理得到：AC=

OA2+OC2

=

5

，即⊙A的半徑為

5

．
故答案是：

5

；

（2）如圖1，過(guò)G點(diǎn)作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設(shè)G（x₀，y₀），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，求得CG=

15

3

，
又∵OB=4，
∴BC=

OB2+OC2

=2

5

，
∵OC∥GH，
∴

OH

BO

=

CG

BC

，則OH=

2 3

3

，即x₀=

2 3

3

，
又∵點(diǎn)G在直線BC上，
∴y₀=

1

2

×

2 3

3

+2
=

3

3

+2，
∴G（

2 3

3

，

3

3

+2）；

（3）在移動(dòng)過(guò)程中，存在點(diǎn)A，使△AEF為直角三角形．
∵點(diǎn)E、F在⊙A上，
∴AE=AF，
若△AEF為直角三角形，在∠EAF=90°，且為等腰三角形．
過(guò)A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

10

，
AM=

1

2

EF=

10

2

，
證出△BOC∽△BMA得，

OC

AM

=

BC

AB

，
而BC=

OC2+OB2

=

22+42

=2

5

，OC=2，可得AB=

5 2

2

，
∴OA=4-

5 2

2

，
∴A（-4+

5 2

2

，0），
當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)圓心為A′，
過(guò)A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，
∴A′B=AB=

5 2

2

，
∴OA′=OB+A′B=4+

5 2

2

，
∴A′（-4-

5 2

2

，0），
∴A（-4+

5 2

2

，0）或A′（-4-

5 2

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，涉及面較廣，難度較大．