【題目】如圖,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在OA邊上的點E處,分別以O(shè)C,OA所在的直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,D,C三點.

(1)求AD的長及拋物線的解析式;

(2)一動點P從點E出發(fā),沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動,同時動點Q從點C出發(fā),沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動,當點P運動到點C時,兩點同時停止運動,設(shè)運動時間為t秒,當t為何值時,以P,Q,C為頂點的三角形與ADE相似?

(3)點N在拋物線對稱軸上,點M在拋物線上,是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,E為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M與點N的坐標(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.

【答案】(1y=﹣x2+x2t=3M14, ),N14);M212﹣32),N24﹣26);M3﹣4﹣32),N34﹣38).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)折疊圖形的軸對稱性,△CED△CBD全等,首先在Rt△CEO中求出OE的長,進而可得到AE的長;在Rt△AED中,AD=AB﹣BD、ED=BD,利用勾股定理可求出AD的長.進一步能確定D點坐標,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

2)由于∠DEC=90°,首先能確定的是∠AED=∠OCE,若以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似,那么∠QPC=90°∠PQC=90°,然后在這兩種情況下,分別利用相似三角形的對應邊成比例求出對應的t的值.

3)由于以M,N,CE為頂點的四邊形,邊和對角線都沒明確指出,所以要分情況進行討論:

①EC做平行四邊形的對角線,那么ECMN必互相平分,由于EC的中點正好在拋物線對稱軸上,所以M點一定是拋物線的頂點;

②EC做平行四邊形的邊,那么ECMN平行且相等,首先設(shè)出點N的坐標,然后結(jié)合E、C的橫、縱坐標差表示出M點坐標,再將點M代入拋物線的解析式中,即可確定M、N的坐標.

試題解析:方法一:

解:(1四邊形ABCO為矩形,

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8AO=BC=10

由題意,△BDC≌△EDC

∴∠B=∠DEC=90°EC=BC=10,ED=BD

由勾股定理易得EO=6

∴AE=10﹣6=4

設(shè)AD=x,則BD=ED=8﹣x,由勾股定理,得x2+42=8﹣x2,

解得,x=3,∴AD=3

拋物線y=ax2+bx+c過點D310),C8,0),O0,0

,

解得

拋物線的解析式為:y=﹣x2+x

2∵∠DEA+∠OEC=90°,∠OCE+∠OEC=90°,

∴∠DEA=∠OCE,

由(1)可得AD=3,AE=4DE=5

CQ=t,EP=2t∴PC=10﹣2t

∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,

,

解得t=

∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,

,

解得t=

t=時,以PQ、C為頂點的三角形與ADE相似.

3)假設(shè)存在符合條件的M、N點,分兩種情況討論:

EC為平行四邊形的對角線,由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點,若四邊形MENC是平行四邊形,那么M點必為拋物線頂點;

則:M4);而平行四邊形的對角線互相平分,那么線段MN必被EC中點(4,3)平分,則N4,);

②EC為平行四邊形的邊,則EC∥MN,EC=,MN設(shè)N4m),則M4﹣8m+6)或M4+8,m﹣6);

M﹣4,m+6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣38,此時 N4,﹣38)、M﹣4,﹣32);

M12m﹣6)代入拋物線的解析式中,得:m=﹣26,此時 N4,﹣26)、M12,﹣32);

綜上,存在符合條件的M、N點,且它們的坐標為:

M1﹣4,﹣32),N14,﹣38);M212﹣32),N24,﹣26);M34, ),N34,).

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