Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直線y=-x+

3

2

與坐標(biāo)軸交于D、E．設(shè)M是AB的中點(diǎn)，P是線段DE上的動點(diǎn)．
（1）求M、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P在什么位置時，PA=PB求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過P作PH⊥BC，垂足為H，當(dāng)以PM為直徑的⊙F與BC相切于點(diǎn)N時，求梯形PMBH的面積．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形，OA=4，AB=2，直線y=-x+

3

2

與坐標(biāo)軸交于D、E，M是AB的中點(diǎn)，所以令y=0，即可求出D的坐標(biāo)，而AM=1，所以M（4，1）；
（2）因?yàn)镻A=PB，所以P是AB的垂直平分線和直線ED的交點(diǎn)，而AB的中垂線是y=1，所以P的縱坐標(biāo)為1，令直線ED的解析式中的y=1，求出的x的值即為相應(yīng)的P的橫坐標(biāo)；
（3）可設(shè)P（x，y），連接PN、MN、NF，因?yàn)辄c(diǎn)P在y=-x+

3

2

上，所以P（x，-x+

3

2

)，根據(jù)題意可得PN⊥MN，F(xiàn)N⊥BC，F(xiàn)是圓心，又因N是線段HB的中點(diǎn)，HN=NB=

4-x

2

，PH=2-（-x+

3

2

）=x+

1

2

，BM=1，利用直徑對的圓周角是直角可得到∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，所以∠HPN=∠BNM，又因∠PHN=∠B=90°，所以可得到Rt△PNH∽Rt△NMB，所以

HN

BM

=

PH

BN

，∴

4-x 2

1

=

x+ 1 2

4-x 2

，這樣就可得到關(guān)于x的方程，解之即可求出x的值，而所求面積的四邊形是一個直角梯形，所以SPMBH=

(BM+HP)•BH

2

=

(1+6- 22 + 1 2 )(4-6+ 22 )

2

=-

37

2

+

19

4

22

．

解答：解：（1）M（4，1），D（

3

2

，0）；（2分）

（2）∵PA=PB，
∴點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1，
又∵點(diǎn)P在y=-x+

3

2

上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

1

2

，1)；（4分）

（3）設(shè)P（x，y），連接PN、MN、NF，
∵點(diǎn)P在y=-x+

3

2

上，
∴P（x，-x+

3

2

)，
依題意知：PN⊥MN，F(xiàn)N⊥BC，F(xiàn)是圓心，
∴N是線段HB的中點(diǎn)，HN=NB=

4-x

2

，PH=2-（-x+

3

2

）=x+

1

2

，BM=1，（6分）
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，
又∵∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽Rt△NMB，
∴

HN

BM

=

PH

BN

，
∴

4-x 2

1

=

x+ 1 2

4-x 2

，
∴x²-12x+14=0，解得：x=6+

22

(x＞

3

2

舍去），x=6-

22

，（8分）SPMBH=

(BM+HP)•BH

2

=

(1+6- 22 + 1 2 )(4-6+ 22 )

2

=-

37

2

+

19

4

22

．  （9分）

點(diǎn)評：本題屬于一道典型的數(shù)形結(jié)合的題目，需利用一次函數(shù)的解析式結(jié)合圓的相關(guān)知識才可以解決問題．